Lý thuyết Nhận biết đường phân giác và đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều

a) Nhận biết đường phân giác của tam giác: Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

? Chú ý: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của tam giác đó.

– Sự đồng quy của ba đường phân giác: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

b) Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt:

Ta có thể dễ dàng chứng minh được một số tính chất sau:

– Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến.

– Trong tam giác cân, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cân.

– Trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

– Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB và qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt nhau tại S. Chứng minh SA là tia phân giác của $\widehat{MSN}$

Hướng dẫn giải:

Vì BA = BM nên ΔBAM cân tại B, do đó $A_1=M_2$

Mà AB // SM nên $A_1=M_1$ (so le trong)

Suy ra $M_1=M_2$ hay MA là tia phân giác của $\widehat{SMN}$

Tương tự, NA là tia phân giác của $\widehat{SNM}$

Xét ΔSMN có MA; NA là các đường phân giác cắt nhau tại A nên SA cũng là đường phân giác của $\widehat{MSN}$

Ví dụ 2. Cho ΔABC cân tại A. Đường phân giác BD, CE của góc B và góc C cắt nhau tại O. Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AB và AC. Chứng minh OB = OC và OH = OK.

Hướng dẫn giải:

⦁ Vì ΔABC cân nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $B_1=\frac{1}{2} \widehat{ABC}$

Vì CE là phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $C_1=\frac{1}{2} \widehat{ACB}$

Do đó $B_1=C_1$

Suy ra ΔOBC cân tại O nên OB = OC.

⦁ Xét ΔABC có BD; CE là đường phân giác cắt nhau tại O

Suy ra AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Do đó OH = OK.