Lý thuyết Nhận biết đường trung trực, đường cao trong tam giác

– Nhận biết đường trung trực trong tam giác: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực trong tam giác đó.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

– Nhận biết đường cao trong tam giác: Đoạn thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện là một đường cao của tam giác.

Chú ý:

⦁ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác, và là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.

⦁ Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

⦁ Trong một tam giác cân, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường cao của tam giác đó.

Ví dụ 1. Tam giác ABC có ba đường cao là AS, BP và MC. Các đường cao này đồng quy tại giao điểm D.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường trung tuyến AI. Chứng minh AI là đường trung trực của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆AIB và ∆AIC có:

AB = AC (giả thiết);

Cạnh AI chung;

IB = IC (do I là trung điểm của BC)

Do đó ∆AIB = ∆AIC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AIB}$ và $\widehat{AIC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$.

Do đó AI vuông góc với BC tại trung điểm I của BC nên AI là đường trung trực của cạnh BC.

Vậy AI là đường trung trực của tam giác ABC.