Lý thuyết Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước
Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng một số phương pháp sau:
− Phương pháp 1: Đặt ab=cd=k, suy ra a = b . k; c = d . k rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, biến đổi để trở thành cùng một biểu thức rồi suy ra điều phải chứng minh.
− Phương pháp 2: Dùng tính chất của tỉ lệ thức:
Nếu ab=cd suy ra a . d = b . c.
− Phương pháp 3: Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Nếu có ab=cd=eg thì ta suy ra ab=cd=eg=a+c+eb+d+g=a−c+eb−d+g (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
− Phương pháp 4: Có thể dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.
Một số kiến thức cần chú ý:
ab=n.an.b(n≠0)
ab=cd⇒(ab)n=(cd)n(n∈N∗)
Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức ab=cd với a – b ≠ 0 và c – d ≠ 0. Chứng minh rằng: a+ba−b=c+dc−d
Hướng dẫn giải:
Đặt ab=cd=k suy ra a = kb; c = kd
Ta có:
a+ba−b=kb+bkb−b=(k+1)b(k−1)b=k+1k−1;
c+dc−d=kd+dkd−d=(k+1)d(k−1)d=k+1k−1.
Do đó: a+ba−b=c+dc−d (đpcm).
Ví dụ 2. Cho ab=cd, chứng minh rằng:
a) 5a+3b5a−3b=5c+3d5c−3d;
b) abcd=a2−b2c2−d2.
Hướng dẫn giải:
a) Từ ab=cd hay ad = bc.
Ta có:
* (5a + 3b) . (5c – 3d)
= 25ac – 15ad + 15bc – 9bd
= 25ac – 15bc + 15bc – 9bd
= 25ac – 9bd.
Do đó (5a + 3b) . (5c – 3d) = 25ac – 9bd (1)
* (5a – 3b) . (5c + 3d)
= 25ac + 15ad – 15bc – 9bd
= 25ac + 15bc – 15bc – 9bd
= 25ac – 9bd
Do đó (5a – 3b) . (5c + 3d) = 25ac – 9bd (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (5a + 3b) . (5c – 3d) = (5a – 3b) . (5c + 3d)
Vậy 5a+3b5a−3b=5c+3d5c−3d (đpcm).
b) Vì ab=cd suy ra ac=bd
Từ đó ta có:
(ac)2=(bd)2=bd.bd=ac.bd=abcd
Vậy: (ac)2=(bd)2 hay a2c2=b2d2.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a2c2=b2d2=a2−b2c2−d2
Do đó: abcd=a2−b2c2−d2 (đpcm).