Lý thuyết Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước

Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng một số phương pháp sau:

− Phương pháp 1: Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), suy ra a = b . k; c = d . k rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, biến đổi để trở thành cùng một biểu thức rồi suy ra điều phải chứng minh.

− Phương pháp 2: Dùng tính chất của tỉ lệ thức:

Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra a . d = b . c.

− Phương pháp 3: Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\) thì ta suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + g}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + g}}\)  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

− Phương pháp 4: Có thể dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.

Một số kiến thức cần chú ý:

\(\frac{a}{b} = \frac{{n.a}}{{n.b}}(n \ne 0)\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^n}(n \in \mathbb{N}*)\)

Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với a – b ≠ 0 và c – d ≠ 0. Chứng minh rằng: \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) suy ra a = kb; c = kd

Ta có:

\(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{kb + b}}{{kb - b}} = \frac{{(k + 1)b}}{{(k - 1)b}} = \frac{{k + 1}}{{k - 1}}\);

\(\frac{{c + d}}{{c - d}} = \frac{{kd + d}}{{kd - d}} = \frac{{(k + 1)d}}{{(k - 1)d}} = \frac{{k + 1}}{{k - 1}}\).

Do đó: \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}\) (đpcm).

Ví dụ 2. Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), chứng minh rằng:

a) \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\);

b) \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

a) Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) hay ad = bc.

Ta có:

* (5a + 3b) . (5c – 3d)

= 25ac – 15ad + 15bc – 9bd

= 25ac – 15bc + 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd.

Do đó (5a + 3b) . (5c – 3d) = 25ac – 9bd (1)

* (5a – 3b) . (5c + 3d)

= 25ac + 15ad – 15bc – 9bd

= 25ac + 15bc – 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd

Do đó (5a – 3b) . (5c + 3d) = 25ac – 9bd (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (5a + 3b) . (5c – 3d) = (5a – 3b) . (5c + 3d)

Vậy \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\) (đpcm).

b) Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Từ đó ta có:

\({\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2} = \frac{b}{d}.\frac{b}{d} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d} = \frac{{ab}}{{cd}}\)

Vậy: \({\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2}\) hay \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\)

Do đó: \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\) (đpcm).