Lý thuyết Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước

1 150 lượt xem


Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng một số phương pháp sau:

− Phương pháp 1: Đặt ab=cd=k, suy ra a = b . k; c = d . k rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, biến đổi để trở thành cùng một biểu thức rồi suy ra điều phải chứng minh.

− Phương pháp 2: Dùng tính chất của tỉ lệ thức:

Nếu ab=cd suy ra a . d = b . c.

− Phương pháp 3: Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu có ab=cd=eg thì ta suy ra ab=cd=eg=a+c+eb+d+g=ac+ebd+g  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

− Phương pháp 4: Có thể dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.

Một số kiến thức cần chú ý:

ab=n.an.b(n0)

ab=cd(ab)n=(cd)n(nN)

Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức ab=cd với a – b ≠ 0 và c – d ≠ 0. Chứng minh rằng: a+bab=c+dcd

Hướng dẫn giải:

Đặt ab=cd=k suy ra a = kb; c = kd

Ta có:

a+bab=kb+bkbb=(k+1)b(k1)b=k+1k1;

c+dcd=kd+dkdd=(k+1)d(k1)d=k+1k1.

Do đó: a+bab=c+dcd (đpcm).

Ví dụ 2. Cho ab=cd, chứng minh rằng:

a) 5a+3b5a3b=5c+3d5c3d;

b) abcd=a2b2c2d2.

Hướng dẫn giải:

a) Từ ab=cd hay ad = bc.

Ta có:

* (5a + 3b) . (5c – 3d)

= 25ac – 15ad + 15bc – 9bd

= 25ac – 15bc + 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd.

Do đó (5a + 3b) . (5c – 3d) = 25ac – 9bd (1)

* (5a – 3b) . (5c + 3d)

= 25ac + 15ad – 15bc – 9bd

= 25ac + 15bc – 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd

Do đó (5a – 3b) . (5c + 3d) = 25ac – 9bd (2)

Từ (1) (2) suy ra: (5a + 3b) . (5c – 3d) = (5a – 3b) . (5c + 3d)

Vậy 5a+3b5a3b=5c+3d5c3d (đpcm).

b) Vì ab=cd suy ra ac=bd

Từ đó ta có:

(ac)2=(bd)2=bd.bd=ac.bd=abcd

Vậy: (ac)2=(bd)2 hay a2c2=b2d2.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a2c2=b2d2=a2b2c2d2

Do đó: abcd=a2b2c2d2 (đpcm).

1 150 lượt xem