Lý thuyết Cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ

a) Cộng, trừ các số hữu tỉ

Để cộng trừ hai số hữu tỉ, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu số dương (hoặc dưới dạng số thập phân).

Bước 2: Thực hiện quy đồng mẫu số hai phân số (nếu số hữu tỉ ở dạng số thập phân thì bỏ qua bước này).

Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số (hoặc quy tắc cộng, trừ số thập phân).

? $\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$ (với a, b ∈ ℤ và m ≠ 0);

? $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$ (với a, b ∈ ℤ và m ≠ 0).

Để cộng trừ nhiều số hữu tỉ, ta thực hiện như sau:

- Nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện quy đồng các phân số rồi cộng, trừ các phân số cùng mẫu.

- Nếu biểu thức chứa dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau hoặc phá dấu ngoặc (chú ý đổi dấu nếu trước dấu ngoặc có dấu “–”).

b) Nhân, chia các số hữu tỉ

Bước 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số (hoặc dưới dạng số thập phân).

Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số (hoặc quy tắc nhân, chia số thập phân).

? $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$ (với a, b, c, d ∈ ℤ và b, d ≠ 0)

? $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$ (với a, b, c, d ∈ ℤ và b, c, d ≠ 0)

Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{7}{8}-\frac{5}{4}$;

b) $1\frac{2}{5}+3\frac{3}{5}$;

c) $\frac{-14}{20}+0,6$;

d) $\frac{-8}{5}.\frac{-3}{4}$;

e) $\frac{-15}{4}:\frac{21}{-10}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{7}{8}-\frac{5}{4}=\frac{7}{8}-\frac{10}{8}=\frac{7-10}{8}=\frac{-3}{8}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng $\frac{-3}{8}$.

b) $1\frac{2}{5}+3\frac{3}{5}=\frac{7}{5}+\frac{18}{5}=\frac{7+18}{5}=\frac{25}{5}=5$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng 5.

c) $\frac{-14}{20}+0,6=\frac{-14}{20}+\frac{6}{10}=\frac{-7}{10}+\frac{6}{10}=\frac{-7+6}{10}=\frac{-1}{10}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng $\frac{-1}{10}$.

d) $\frac{-8}{5}.\frac{-3}{4}=\frac{\left(-8\right).\left(-3\right)}{5.4}=\frac{\left(-2\right)\left(-3\right)}{5.1}=\frac{6}{5}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng $\frac{6}{5}$.

e) $\frac{-15}{4}:\frac{21}{-10}=\frac{-15}{4}.\frac{-10}{21}$

$=\frac{\left(-15\right).\left(-10\right)}{4.21}=\frac{\left(-5\right).\left(-5\right)}{2.7}=\frac{25}{14}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng $\frac{25}{14}$.

Ví dụ 2. Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể):

a) $\frac{7}{3}-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}$;

b) $\frac{5}{8}-\frac{3}{4}+\frac{15}{6}$;

c) $\frac{7}{3}-\left(\frac{-1}{4}-\frac{5}{12}\right)$;

d) $\left(\frac{-25}{13}\right)+\left(-\frac{9}{17}\right)+\frac{12}{13}+\left(-\frac{25}{17}\right)$;

e) $-3\frac{1}{5}.2,5$;

f) $\left(-2,5\right):\left(-1\frac{1}{4}\right)$.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{7}{3}-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{14}{6}-\frac{5}{6}-\frac{4}{6}=\frac{14-5-4}{6}=\frac{5}{6}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng $\frac{5}{6}$.

b) $\frac{5}{8}-\frac{3}{4}+\frac{15}{6}=\frac{5}{8}-\frac{3}{4}+\frac{5}{2}$

$=\frac{5}{8}-\frac{6}{8}+\frac{20}{8}=\frac{5-6+20}{8}=\frac{19}{8}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng $\frac{19}{8}$.

c) $\frac{7}{3}-\left(\frac{-1}{4}-\frac{5}{12}\right)$

$=\frac{7}{3}-\frac{-1}{4}+\frac{5}{12}$

$=\frac{7}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{12}$

$=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}+\frac{5}{12}$

$=\frac{28+3+5}{12}=\frac{36}{12}=3$

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng 3.

d) $\left(\frac{-25}{13}\right)+\left(-\frac{9}{17}\right)+\frac{12}{13}+\left(-\frac{25}{17}\right)$

$=\left(\frac{-25}{13}+\frac{12}{13}\right)+\left(-\frac{9}{17}-\frac{25}{17}\right)$

$=\frac{-25+12}{13}+\frac{-9-25}{17}$

$=\frac{-13}{13}+\frac{-34}{17}$

= ‒1 + (‒2)

= ‒3.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –3.

e) $-3\frac{1}{5}.2,5=-\frac{16}{5}.\frac{5}{2}=-8$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –8.

f) $\left(-2,5\right):\left(-1\frac{1}{4}\right)=\frac{-5}{2}:\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{-5}{2}.\frac{-4}{5}=2$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng 2.

Ví dụ 3. Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể):

a) $\frac{7}{4}.\frac{6}{35}+\left(-\frac{7}{4}\right):\frac{35}{14}-2^4$;

b) $\left(\frac{-2}{3}+\frac{4}{5}\right)-\frac{5}{4}.\left(-\frac{16}{3}\right)-\frac{11}{5}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{7}{4}.\frac{6}{35}+\left(-\frac{7}{4}\right):\frac{35}{14}-2^4$

$=\frac{7}{4}.\frac{6}{35}-\frac{7}{4}.\frac{14}{35}-16$

$=\frac{7}{4}.\left(\frac{6}{35}-\frac{14}{35}\right)-16$

$=\frac{7}{4}.\frac{-20}{35}-16$

$=\frac{7}{4}.\frac{-4}{7}-16$

= ‒1 – 16

= ‒17.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị bằng –17.

b) $\left(\frac{-2}{3}+\frac{4}{5}\right)-\frac{5}{4}.\left(-\frac{16}{3}\right)+\frac{11}{5}$

$=\frac{-2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{4}.\frac{16}{3}+\frac{11}{5}$

$=\frac{-2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{1}.\frac{4}{3}+\frac{11}{5}$

$=\frac{-2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{20}{3}+\frac{11}{5}$

$=\left(\frac{-2}{3}+\frac{20}{3}\right)+\left(\frac{4}{5}+\frac{11}{5}\right)$

$=\frac{18}{3}+\frac{15}{5}$

= 6 + 3  = 9.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị bằng 9.