Lý thuyết Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

Để nhận biết được đường trung tuyến, trọng tâm của tam giác, ta cần nắm được các khái niệm sau:

− Đường trung tuyến trong một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Một tam giác bất kì có ba đường trung tuyến.

− Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.

* Tính chất trọng tâm của tam giác: Trọng tâm cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC, AM và BN cắt nhau tại G. Tính tỉ số $\frac{AG}{AM}$

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Trên tia đối của tia GA lấy điểm G' sao cho GG' = GA. Vẽ đường trung tuyến CE của tam giác ABC. Chứng minh $BG\text{'}=\frac{2}{3}CE$.

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường trung tuyến AD của ΔABC. Khi đó D là trung điểm của BC.

Ta có: $GD=\frac{1}{2}AG$ (do G là trọng tâm của tam giác)

Mà AG = GG' nên $GD=\frac{1}{2}GG\text{'}$.

Suy ra DG' = DG.

Xét ΔBDG' và ΔCDG có:

DB = DC (do D là trung điểm của BC);

$\widehat{BDG}\text{'}=\widehat{CDG}$ (hai góc đối đỉnh);

DG' = DG (chứng minh trên)

Do đó ΔBDG' = ΔCDG (c.g.c)

Suy ra BG' = CG (hai cạnh tương ứng)

Lại có $CG=\frac{2}{3}CE$ (do G là trọng tâm ΔABC) nên $BG\text{'}=\frac{2}{3}CE$.