Lý thuyết Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác
Lý thuyết Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác
Để chứng minh bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác, ta thực hiện:
+ chứng minh độ dài cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại;
+ chứng minh độ dài cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Chú ý: Trong một số bài toán, ta cần kết hợp bất đẳng thức tam giác với định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để chứng minh được bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm. Đặt AC = a (cm). Chứng minh rằng 1 < a < 5.
Hướng dẫn giải:
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
BC – AB < AC < BC + AB
Hay 3 – 2 < a < 3 + 2, tức là 1 < a < 5.
Vậy 1 < a < 5.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đường cao AH (H ∈ BC). Chứng minh rằng:
AB + AC – BC < 2AH.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆AHB có AB – AH < BH (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét ∆AHC có AC – AH < HC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được AB – AH + AC – AH < BH + HC
Suy ra AB + AC – 2AH > BH + HC
Mà HB + HC = BC (do H ∈ BC)
Do đó AB + AC – 2AH < BC hay AB + AC – BC < 2AH.