Lý thuyết Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác
Bước 1: Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
Bước 2: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo một trong các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh góc vuông – góc nhọn kề; cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Bước 3: Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận.
Ví dụ 1. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD ⊥ xy tại D, kẻ CE ⊥ xy tại E. Chứng minh rằng:
a) ∆BAD = ∆ACE;
b) DE = BD + CE.
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABD vuông tại D: ^DAB+^ABD=90∘ (1).
Tam giác ABC vuông tại A. Ta suy ra ^BAC=90∘.
Ta có: ^DAB+^BAC+^CAE=180∘.
⇔^DAB+90∘ +^CAE=180∘.
⇔^DAB+^CAE=180∘ −90∘ =90∘ (2).
Từ (1), (2), ta suy ra ^ABD=^CAE.
Xét ∆BAD và ∆ACE, có:
^ADB=^AEC=90∘.
AB = AC (giả thiết).
^ABD=^CAE (chứng minh trên).
Do đó ∆BAD = ∆ACE (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Ta có: ∆BAD = ∆ACE (chứng minh trên)
Ta suy ra AD = CE và BD = AE (các cặp cạnh tương ứng bằng nhau).
Do đó AD + AE = CE + BD.
Suy ra DE = CE + BD (vì A nằm giữa D và E).
Vậy DE = BD + CE.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC tại H. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm D sao cho HD = HA.
a) Chứng minh rằng ∆AHB = ∆DHB;
b) Chứng minh rằng BD ⊥ CD.
c) Cho ^ABC=60∘. Tính số đo ^ACD.
Hướng dẫn giải:
a) Xét ∆AHB và ∆DHB, có:
^AHB=^DHB=90∘.
HB là cạnh chung.
HA = HD (giả thiết).
Do đó ∆AHB = ∆DHB (hai cạnh góc vuông).
b) Ta có ∆AHB = ∆DHB (chứng minh trên).
Do đó AB = DB và ^ABH=^DBH (các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau).
Xét ∆ABC và ∆DBC, có:
AB = DB (chứng minh trên).
BC là cạnh chung.
^ABC=^DBC (chứng minh trên).
Do đó ∆ABC = ∆DBC (cạnh – góc – cạnh).
Ta suy ra ^BDC=^BAC=90∘ (hai góc tương ứng)
Vậy BD ⊥ CD.
c) ∆ABC vuông tại A: ^ABC+^ACB=90∘ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra ^ACB=90∘ −^ABC=90∘ −60∘ =30∘.
Ta có ∆ABC = ∆DBC (chứng minh trên).
Ta suy ra ^ACB=^BCD (cặp góc tương ứng bằng nhau).
Do đó ^BCD=^ACB=30∘.
Ta có ^ACD=^ACB+^BCD=30∘ +30∘ =60∘.
Vậy ^ACD=60∘.