Lý thuyết Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác

1 138 lượt xem


Bước 1: Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo một trong các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh góc vuông – góc nhọn kề; cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.

Bước 3: Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận.

Ví dụ 1. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD xy tại D, kẻ CE xy tại E. Chứng minh rằng:

a) ∆BAD = ∆ACE;

b) DE = BD + CE.

Hướng dẫn giải:

loading...

Tam giác ABD vuông tại D: ^DAB+^ABD=90 (1).

Tam giác ABC vuông tại A. Ta suy ra ^BAC=90.

Ta có: ^DAB+^BAC+^CAE=180.

^DAB+90 +^CAE=180.

^DAB+^CAE=180 90 =90  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra ^ABD=^CAE.

Xét ∆BAD và ∆ACE, có:

^ADB=^AEC=90.

AB = AC (giả thiết).

^ABD=^CAE (chứng minh trên).

Do đó ∆BAD = ∆ACE (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Ta có: ∆BAD = ∆ACE (chứng minh trên)

Ta suy ra AD = CE và BD = AE (các cặp cạnh tương ứng bằng nhau).

Do đó AD + AE = CE + BD.

Suy ra DE = CE + BD (vì A nằm giữa D và E).

Vậy DE = BD + CE.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH BC tại H. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm D sao cho HD = HA.

a) Chứng minh rằng ∆AHB = ∆DHB;

b) Chứng minh rằng BD CD.

c) Cho ^ABC=60. Tính số đo ^ACD.

Hướng dẫn giải:

loading...

a) Xét ∆AHB và ∆DHB, có:

^AHB=^DHB=90.

HB là cạnh chung.

HA = HD (giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆DHB (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có ∆AHB = ∆DHB (chứng minh trên).

Do đó AB = DB và ^ABH=^DBH (các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau).

Xét ∆ABC và ∆DBC, có:

AB = DB (chứng minh trên).

BC là cạnh chung.

^ABC=^DBC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABC = ∆DBC (cạnh – góc – cạnh).

Ta suy ra ^BDC=^BAC=90 (hai góc tương ứng)

Vậy BD CD.

c) ∆ABC vuông tại A: ^ABC+^ACB=90 (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra ^ACB=90 ^ABC=90 60 =30.

Ta có ∆ABC = ∆DBC (chứng minh trên).

Ta suy ra ^ACB=^BCD (cặp góc tương ứng bằng nhau).

Do đó ^BCD=^ACB=30.

Ta có ^ACD=^ACB+^BCD=30 +30 =60.

Vậy ^ACD=60.

1 138 lượt xem