Lý thuyết Ứng dụng của các phép tính lũy thừa của số hữu tỉ vào bài toán thực tế

Trong cuộc sống, chúng ta có thể áp dụng các phép tính lũy thừa của số hữu tỉ để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tế, ví dụ như tính khối lượng của nguyên tố phóng xạ, hay liên quan đến lãi suất ngân hàng, liên quan đến tốc độ tăng trưởng dân số,…

Vậy để giải quyết những bài toán như vậy, ta sẽ áp dụng kiến thức liên quan đến:

+ Các phép tính luỹ thừa với x ∈ ℚ và m, n ∈ ℕ:

? x⁰ = 1 (x ≠ 0);

? x^m : xⁿ = x^{m – n} (x ≠ 0);

? (x.y)^m = x^m .y^m;

<span lang='VI' style='font-size:14.0pt;line-height: 115%;font-family:Wingdings;mso-ascii-font-family:' times='' new='' roman';mso-fareast-font-family:='' 'times='' roman';mso-hansi-font-family:'times='' roman';mso-bidi-font-family:='' roman';mso-ansi-language:vi;mso-fareast-language:en-us;mso-bidi-language:='' ar-sa;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:wingdings'=''>?\({\left( {\frac{x}{y}} \right)^m} = \frac{{{x^m}}}{{{y^m}}}\)  (y ≠ 0).

+ Các công thức tính khối lượng của nguyên tố phóng xạ, công thức tính tiền lãi suất ngân hàng, công thức tính tốc độ tăng trưởng dân số,…

Ví dụ 1. Diện tích giữa các đại dương được cho trong bảng sau:

Em hãy sắp xếp tên các đại dương theo độ lớn của diện tích từ nhỏ đến lớn.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+) 16,525.10⁷ = 165,25.10⁶.

+) 219,6.10⁵ = 21,96.10⁶.

Vì 14,09 < 21,96 < 75 < 106,46 < 165,25.

Suy ra 14,09.10⁶ < 21,96.10⁶ < 75.10⁶ < 106,46.10⁶ < 165,25.10⁶.

Vậy khi sắp xếp tên các đại dương theo độ lớn của diện tích từ nhỏ đến lớn, ta được Bắc Băng Dương, Nam Băng Dương, Ấn Độ Dương, Đại Tây Dương, Thái Bình Dương.

Ví dụ 2. Khối lượng của sao Thủy bằng khoảng 3,3.10²³ kg. Khối lượng của Mặt Trăng bằng khoảng 7,347.10²² kg. Em hãy cho biết khối lượng của sao Thủy gấp khoảng mấy lần khối lượng của Mặt Trăng?

Hướng dẫn giải:

Khối lượng của sao Thủy gấp khoảng số lần khối lượng của Mặt Trăng là:

\[\frac{{3,{{3.10}^{23}}}}{{7,{{347.10}^{22}}}} = \frac{{3,3}}{{7,347}}{.10^{23 - 22}} \approx 0,{45.10^1} \approx 4,5\] (lần)

Vậy khối lượng của sao Thủy gấp khoảng 4,5 lần khối lượng của Mặt Trăng.

Ví dụ 3. Bác Hoa gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất kép, kỳ hạn là 10%/năm. Biết công thức tính lãi kép là S = M.(1 + a)ⁿ.

Trong đó:

• S là số tiền cả vốn lẫn lãi mà khách hàng nhận được sau n kỳ hạn;

• M là số tiền gửi vào ban đầu;

• a là lãi suất ngân hàng (ví dụ ở bài toán này thì a = 10%)

• n là số kỳ hạn.

Hết 3 năm kỳ hạn, bác Hoa nhận được cả lốn lẫn lãi là bao nhiêu tiền?

Hướng dẫn giải:

Hết 3 năm kỳ hạn, bác Hoa nhận được cả lốn lẫn lãi là:

S = 100.(1 + 10%)³ = \[100.{\left( {1 + \frac{{10}}{{100}}} \right)^3} = 100.{\left( {1 + \frac{1}{{10}}} \right)^3} = 100.{\left( {\frac{{10}}{{10}} + \frac{1}{{10}}} \right)^3}\]

\( = 100.{\left( {\frac{{11}}{{10}}} \right)^3} = 100.\frac{{{{11}^3}}}{{{{10}^3}}} = 100.\frac{{1331}}{{1000}} = \frac{{1331}}{{10}} = 133,1\) (triệu đồng).

Vậy hết 3 năm kỳ hạn, bác Hoa nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là 133,1 triệu đồng.