Lý thuyết Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

– Để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau ta chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác.

– Để tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc ta dựa vào tính chất trọng tâm và tính chất đường phân giác của tam giác.

– Một số định lí và tính chất:

+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

+ Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+ Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì nó cách đều hai cạnh của góc đó.

+ Giao điểm của ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC. Chứng minh AD = AE.

Hướng dẫn giải:

Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của góc B và C nên AI là tia phân giác của góc A.

Suy ra ID = IE (tính chất tia phân giác)         (1)

Vì AI là tia phân giác góc A nên $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\hat{A}=45°$

Do đó ΔDAI vuông cân tại D nên ID = DA.  (2)

Chứng minh tương tự, ta có ΔAEI vuông cân tại E nên IE = AE (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra: AD = AE.

Ví dụ 2. Cho ΔABC có $\hat{A}=70°$ các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính $\widehat{BIC}$

Hướng dẫn giải:

Trong ΔABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra: $\hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-70°=110°$

Ta có: $\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\hat{B}$ (vì BD là tia phân giác), $\widehat{C_1}=\frac{1}{2}\widehat{ C}$ (vì CE là tia phân giác).

Trong ΔBIC ta có: $\widehat{BIC}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $BIC=180°-\left(B_1+C_1\right)=180°-\frac{1}{2}\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\frac{1}{2}.110°=125°$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chưa ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài tại B và C của ∆ABC. Ta sẽ chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ).

Ta cần chứng minh thêm MH = MK = MI.

Vì M thuộc tia phân giác của góc HBI nên MH = MI

Vì M thuộc phân giác của góc KCI nên MI = MK

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

Mà điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Vậy M thuộc phân giác của góc BAC và MH = MK = MI.