Lý thuyết Tìm cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa
Một số kiến thức cần nằm vững:
Với x, y ∈ ℚ và m, n ∈ ℕ:
• Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: xn=x.x.....x⏟nthuasox;
• Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: với x ≠ 0, m ≥ n ta có
xm. xn = xm + n;
xm : xn = xm – n
• Luỹ thừa của một luỹ thừa: (xm)n = xm. n
• Luỹ thừa của một tích, một thương:
(x. y)n = xn. yn;
(xy)n=xnyn (với y ≠ 0)
• Quy ước: x0 = 1 và x1 = x (với x ≠ 0).
a) Tìm cơ số của lũy thừa
Bước 1: Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về luỹ thừa có cùng số mũ.
Bước 2: Cho phần cơ số bằng nhau rồi giải ra kết quả.
Chú ý: Số mũ là số chẵn ta chia thành hai trường hợp, số mũ là số lẻ ta chỉ có một trường hợp.
b) Tìm số mũ của lũy thừa
Bước 1: Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về luỹ thừa có cùng cơ số.
Bước 2: Rút gọn hai vế về dạng an = am.
Bước 3: Cho hai số mũ bằng nhau rồi giải ra kết quả.
Ví dụ 1. Tìm x, biết:
a) x3 = –8;
b) 3x2 = 27;
c) (2x – 5)2 = 9;
d) x3 = x2.
e) (x – 5)2 = (1 – 3x)2
Hướng dẫn giải:
a) x3 = –8.
x3 = (–2)3.
x = –2.
Vậy x = –2.
b) 3x2 = 27.
x2=273.
x2 = 9.
x2 = 32 = (–3)2.
x = 3 hoặc x = –3.
Vậy x = 3 hoặc x = –3.
c) (2x – 5)2 = 9.
(2x – 5)2 = 32 = (‒3)2
Trường hợp 1: 2x – 5 = 3.
2x = 3 + 5.
2x = 8.
x=82.
x = 4.
Vậy x = 4.
Trường hợp 2: 2x – 5 = ‒3.
2x = ‒3 + 5.
2x = 2.
x = 2 : 2.
x = 1.
Vậy x = 4 hoặc x = 1.
d) x3 = x2..
x3 – x2 = 0.
x2.(x – 1) = 0.
x2 = 0 hoặc x – 1 = 0.
x = 0 hoặc x = 1.
Vậy x = 0 hoặc x = 1.
e) (x – 5)2 = (1 – 3x)2.
Trường hợp 1: x – 5 = 1 – 3x.
x + 3x = 1 + 5.
4x = 6.
x=64.
x=32.
Trường hợp 2: x – 5 = ‒(1 – 3x)
x – 5 = ‒1 + 3x
x ‒ 3x = ‒1 + 5.
‒2x = 4.
x = 4 : (‒2).
x = ‒2.
Vậy x=32 hoặc x = ‒2.
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n, biết:
a) 82n=132;
b) (−5)n25= −5;
c) 2n.3n=36;
d) 6n+1:3n=96.
Hướng dẫn giải:
a) 82n=132.
232n=125.
23−n=125
Suy ra 23 – n . 25 = 1
23 – n + 5 = 1
28 – n = 1.
Suy ra 8 – n = 0
n = 8 (thoả mãn n ∈ ℕ)
Vậy n = 8.
b) (−5)n25= −5.
(−5)n(−5)2= −5.
(−5)n−2=(−5)1.
Suy ra n – 2 = 1.
n = 1 + 2.
n = 3.
Vậy n = 3.
c) 2n.3n=36.
(2.3)n=36.
6n=62.
n = 2.
Vậy n = 2.
d) 6n+1:3n=96.
6n+13n=96.
6n.63n=96.
6n3n=96:6.
(63)n=16.
2n=24.
n = 4.
Vậy n = 4.