Lý thuyết Tìm cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa

Một số kiến thức cần nằm vững:

Với x, y ∈ ℚ và m, n ∈ ℕ:

• Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: \[{x^n} = \underbrace {x.x.\;...\;.x\;}_{n{\rm{ thua so x}}};\]

• Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: với x ≠ 0, m ≥ n ta có

x^m. xⁿ = x^{m + n};

x^m : xⁿ = x^{m – n}

• Luỹ thừa của một luỹ thừa: (x^m)ⁿ = x^{m. n}

• Luỹ thừa của một tích, một thương:

(x. y)ⁿ = xⁿ. yⁿ;

\({\left( {\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} \right)^{\rm{n}}} = \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{n}}}}}\) (với y ≠ 0)

• Quy ước: x⁰ = 1 và x¹ = x (với x ≠ 0).

a) Tìm cơ số của lũy thừa

Bước 1: Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về luỹ thừa có cùng số mũ.

Bước 2: Cho phần cơ số bằng nhau rồi giải ra kết quả.

Chú ý: Số mũ là số chẵn ta chia thành hai trường hợp, số mũ là số lẻ ta chỉ có một trường hợp.

b) Tìm số mũ của lũy thừa

Bước 1: Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về luỹ thừa có cùng cơ số.

Bước 2: Rút gọn hai vế về dạng aⁿ = a^m.

Bước 3: Cho hai số mũ bằng nhau rồi giải ra kết quả.

Ví dụ 1. Tìm x, biết:

a) x³ = –8;

b) 3x² = 27;

c) (2x – 5)² = 9;

d) x³ = x².

e) (x – 5)² = (1 – 3x)²

Hướng dẫn giải:

a) x³ = –8.

x³ = (–2)³.

x = –2.

Vậy x = –2.

b) 3x² = 27.

\({x^2} = \frac{{27}}{3}\).

x² = 9.

x² = 3² = (–3)².

x = 3 hoặc x = –3.

Vậy x = 3 hoặc x = –3.

c) (2x – 5)² = 9.

(2x – 5)² = 3² = (‒3)²

Trường hợp 1: 2x – 5 = 3.

2x = 3 + 5.

2x = 8.

\(x = \frac{8}{2}\).

x = 4.

Vậy x = 4.

Trường hợp 2: 2x – 5 = ‒3.

2x = ‒3 + 5.

2x = 2.

x = 2 : 2.

x = 1.

Vậy x = 4 hoặc x = 1.

d) x³ = x^2..

x³ – x² = 0.

x².(x – 1) = 0.

x² = 0 hoặc x – 1 = 0.

x = 0 hoặc x = 1.

Vậy x = 0 hoặc x = 1.

e) (x – 5)² = (1 – 3x)².

Trường hợp 1: x – 5 = 1 – 3x.

x + 3x = 1 + 5.

4x = 6.

\(x = \frac{6}{4}\).

\(x = \frac{3}{2}\).

Trường hợp 2: x – 5 = ‒(1 – 3x)

x – 5 = ‒1 + 3x

x ‒ 3x = ‒1 + 5.

‒2x = 4.

x = 4 : (‒2).

x = ‒2.

Vậy \(x = \frac{3}{2}\) hoặc x = ‒2.

Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n, biết:

a) \(\frac{8}{{{2^n}}} = \frac{1}{{32}}\);

b) \(\frac{{{{\left( { - 5} \right)}^n}}}{{25}} =  - 5\);

c) \({2^n}{.3^n} = 36\);

d) \({6^{n + 1}}:{3^n} = 96\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\frac{8}{{{2^n}}} = \frac{1}{{32}}\).

\(\frac{{{2^3}}}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^5}}}\).

\({2^{3 - n}} = \frac{1}{{{2^5}}}\)

Suy ra 2^{3 – n} . 2⁵ = 1

2^{3 – n + 5} = 1

2^{8 – n}  = 1.

Suy ra 8 – n = 0

n = 8 (thoả mãn n ∈ ℕ)

Vậy n = 8.

b) \(\frac{{{{\left( { - 5} \right)}^n}}}{{25}} =  - 5\).

\(\frac{{{{\left( { - 5} \right)}^n}}}{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}} =  - 5\).

\({\left( { - 5} \right)^{n - 2}} = {\left( { - 5} \right)^1}\).

Suy ra n – 2 = 1.

n = 1 + 2.

n = 3.

Vậy n = 3.

c) \({2^n}{.3^n} = 36\).

\({\left( {2.3} \right)^n} = 36\).

\({6^n} = {6^2}\).

 n = 2.

Vậy n = 2.

d) \({6^{n + 1}}:{3^n} = 96\).

\(\frac{{{6^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 96\).

\(\frac{{{6^n}.6}}{{{3^n}}} = 96\).

\(\frac{{{6^n}}}{{{3^n}}} = 96:6\).

\({\left( {\frac{6}{3}} \right)^n} = 16\).

\({2^n} = {2^4}\).

n = 4.

Vậy n = 4.