Lý thuyết Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Lý thuyết Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Đối với một số bài toán liên quan đến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, ta có thể sử dụng một số tính chất sau để giải quyết bài toán:
– Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân của tam giác.
– Chú ý: Ta có thể dễ dàng chứng minh được một số tính chất sau:
⦁ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
⦁ Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
⦁ Trong tam giác đều, trọng tâm của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.
⦁ Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến . Chứng minh và
Hướng dẫn giải:
Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC và nên
Suy ra ΔMAB, ΔMAC là các tam giác cân tại M.
Do đó
Xét ∆ACM có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M nên
Tương tự, ta cũng có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M của ∆ABM nên
Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Ta sẽ chứng minh
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.
Ta có cần chứng minh AD = BC.
Xét ∆BMD và ∆CMA có:
MB = MC (do M là trung điểm của BC);
(đối đỉnh);
MD = MA (theo cách dựng)
Do đó ∆BMD = ∆CMA (c.g.c).
Suy ra BD = CA (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng)
Mà và ở vị trí so le trong nên BD // AC
Lại có nên
Xét ∆CAB và ∆DBA có:
AB là cạnh chung;
AC = BD (chứng minh trên)
Do đó ∆CAB = ∆DBA (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BC = AD (hai cạnh tương ứng)
Vậy
Ví dụ 3. Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Tính
Hướng dẫn giải:
Xét ΔAMC và ΔDMB có:
MC = MB (do M là trung điểm của BC);
(hai góc đối đỉnh);
MA = MD (giả thiết)
Do đó: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c).
Suy ra (hai góc tương ứng) hay
Mà hai góc DAC và ADB ở vị trí so le trong nên BD // AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ BD (từ vuông góc đến song song)
Do đó