Lý thuyết Cộng, trừ, nhân, chia các số thực và phép tính lũy thừa của các số thực

 Trong tập hợp các số thực cũng có các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với số mũ tự nhiên) với các tính chất tương tự như các phép tính trong tập hợp số hữu tỉ.

Cho a, b, c là các số thực.

* Tính chất của phép cộng số thực:

– Tính chất giao hoán: a + b = b + a;

– Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b +c);

– Tính chất cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a;

– Tính chất cộng với số đối: a + (–a) = 0;

* Tính chất của phép nhân các số thực:

– Tính chất giao hoán: a. b = b. a;

– Tính chất kết hợp: (a. b). c = a. (b. c);

– Tính chất nhân với số 1: a. 1 = a;

– Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a. (b + c) = a.b + a.c;

– Với mỗi số thực a ≠ 0, có số nghịch đảo \[\frac{1}{a}\] sao cho: \(a.\frac{1}{a} = 1\).

* Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của số thực:

– Lũy thừa với số mũ tự nhiên xⁿ = x.x….x (n thừa số x).

– Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

x^m . xⁿ = x^{m + n} ; x^m : xⁿ = x^{m – n} ( x ≠ 0, m ≥ n).

– Lũy thừa của một lũy thừa: \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m\,.\,n}}\).

– Lũy thừa của một tích, một thương:

\({\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\); \({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\) với y ≠ 0 (x, y $\in$ ℝ; m, n $\in$ ℕ).

* Thứ tự thực hiện các phép tính, quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc trong tập số thực cũng giống như trong tập hợp số hữu tỉ.

Ví dụ 1: Tính:

a) \(( - 7).\sqrt {0,36}  + 1,2\);

b) \({\left( {{2^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(( - 7).\sqrt {0,36}  + 1,2 =  - 7.\sqrt {0,{6^2}}  + 1,2\)

= (−7).0,6 + 1,2 = −4,2 + 1,2 = −3.

b) \({\left( {{2^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = {2^6}.\frac{{{3^2}}}{{{2^2}}}\)

= 2⁴ . 3² = 16 . 9 = 144.

Ví dụ 2: Tìm x, biết: \(\sqrt 3 x + \sqrt 2 x + 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 2 x = \sqrt 2  + \sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải:

\(\sqrt 3 x + \sqrt 2 x + 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 2 x = \sqrt 2  + \sqrt 3 \)

\(\left( {\sqrt 3 x + 2\sqrt 3 x} \right) + \left( {\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 x} \right) = \sqrt 2  + \sqrt 3 \)

\(3\sqrt 3 x + 3\sqrt 2 x = \sqrt 2  + \sqrt 3 \)

\(3x\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2  + \sqrt 3 \)

3x = 1

\(x = \frac{1}{3}\).

Vậy \(x = \frac{1}{3}\).