Lý thuyết Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác

1 139 lượt xem


a) Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau.

b) Tính chất

+ Nếu ∆ABC cân tại A thì ^ABC=^ACB;

+ Xét ∆ABC, nếu ^ABC=^ACB thì ∆ABC cân tại A.

Ta sẽ sử dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để suy ra hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau. Từ đó ta sẽ có thêm dữ kiện để chứng minh sự bằng nhau của hai tam giác, hai đoạn thẳng, hai góc.

Ví dụ 1. Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = EC. Gọi M, N là hình chiếu của D, E trên AB, AC. Chứng minh rằng ∆AMD = ∆ANE.

Hướng dẫn giải:

loading...

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

BD = EC (giả thiết).

^ABD=^ACE (∆ABC cân tại A).

AB = AC (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra ^A1=^A2 và AD = AE (cặp góc và cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆AMD và ∆ANE, có:

^AMD=^ANE=90.

^A1=^A2 (chứng minh trên).

AD = AE (chứng minh trên).

Do đó ∆AMD = ∆ANE (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ 2. Cho ∆ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Từ M, N, kẻ đường thẳng vuông góc với AC và AB, hai đường thẳng này cắt BC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) ∆BNE = ∆CMD.

b) BD = CE.

Hướng dẫn giải:

loading...

a) Vì N là trung điểm AB nên AB = 2BN (1).

Vì M là trung điểm AC nên AC = 2CM (2).

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra BN = CM.

Xét ∆BNE và ∆CMD, có:

^BNE=^CMD=90.

BN = CM (chứng minh trên)

^NBE=^MCD (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆BNE = ∆CMD (góc – cạnh – góc).

b) Ta có ∆BNE = ∆CMD (chứng minh trên).

Suy ra BE = CD.

Vì B, D, C thẳng hàng và B nằm giữa C, D nên ta có CD = BC + BD.

Vì B, E, C thẳng hàng và C nằm giữa B, E nên ta có BE = BC + CE.

Từ BE = CD, ta suy ra BC + CE = BC + BD.

Do đó CE = BD.

Vậy CE = BD.

1 139 lượt xem