Lý thuyết Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy ta có thể vận dụng sự đồng quy của ba đường cao: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ 1. Cho ∆ABC cân tại A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H. Chứng minh CH ⊥ AB.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến, suy ra AD cũng là đường cao.

Mà BE là đường cao của ∆ABC và BE cắt AD tại H.  

Do đó H là trực tâm của ∆ABC.  

Suy ra CH ⊥ AB.

Ví dụ 2. Cho ∆MNP vuông tại M. Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR ⊥ NP (R ∈ NP). Gọi O là giao điểm của các đường thẳng PM và RQ. Chứng minh rằng PQ ⊥ ON.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ONP có: NM ⊥ PO, OR ⊥ PN.

Mà NM giao OR tại Q.

Suy ra Q là trực tâm của ∆PON.

Do đó PQ ⊥ ON.

Ví dụ 3. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Gọi D là giao điểm của AB và CP. Chứng minh ba đường thẳng AB, MN, CP đồng quy.

Hướng dẫn giải:

• Xét ∆DBC có CA, BP là hai đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm của ∆DBC.

• Vì M là trực tâm của ∆DBC nên DM ⊥ BC.

• Ta có DM ⊥ BC (chứng minh trên).

Mà MN ⊥ BC (giả thiết).

Suy ra D, M, N thẳng hàng.

• Ta có:

+) D ∈ MN (do D, M N thẳng hàng);

+) D ∈ AB (giả thiết);

+) D ∈ CP (giả thiết).

Suy ra AB, MN, CP cùng đồng quy tại điểm D.