Lý thuyết Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Lý thuyết Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Ta có thể dựa vào tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết một số bài toán như sau:
+ Các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
+ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.
+ Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.
Chú ý:
⦁ Vì giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.
⦁ Trong một tam giác cân, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường cao của tam giác đó.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng tam giác có hai đường cao (xuất phát từ hai đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆ABC có hai đường cao BE, CF và BE = CF. Ta cần chứng minh ∆ABC là tam giác cân.
Xét ∆CBE (vuông tại E) và ∆CBF (vuông tại F) có:
BC là cạnh chung;
BE = CF (giả thiết)
Suy ra ∆CBE = ∆BCF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó (hai góc tương ứng).
Vậy ∆ABC cân tại A.
Ví dụ 2. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.
a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD;
b) Chứng minh ∆ABD và ∆CBD đều là tam giác vuông;
c) Biết Hãy tính số đo
Hướng dẫn giải:
a) Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC.
Mà OD = OB (giả thiết) nên OD = OA và OD = OC.
Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD.
b) Xét ∆OAB cân tại O
Suy ra
Xét ∆OAD cân tại O
Suy ra
Do đó
Hay nên ∆ABD vuông tại A.
Chứng minh tương tự, ta cũng có ∆CBD vuông tại C.
c) Ta có ∆ABD vuông tại A nên .
Ta có ∆BCD vuông tại C nên .
Suy ra
Hay