Lý thuyết Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác khi biết độ dài ba đoạn thẳng

– Trường hợp xác định được cạnh lớn nhất hoặc cạnh nhỏ nhất trong ba độ dài:

Để có thể tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c (a > b > c) thì cần điều kiện là:

a < b + c hoặc c > a – b.

– Trường hợp không xác định được cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất trong ba độ dài:

Điều kiện để ba độ dài a, b, c bất kì có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác là:

b – c < a < b + c.

Ví dụ 1. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba độ dài nào sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.

a) 6 cm; 3 cm; 5 cm;

b) 5 cm; 5 cm; 8 cm;

c) 10 cm; 5 cm; 4 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 6 – 3 = 3 < 5 thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 6 cm; 3 cm; 5 cm là ba cạnh của một tam giác.

b) Ta có: 5 + 5 = 8 > 5 thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 5 cm; 5 cm; 8 cm là ba cạnh của một tam giác.

c) Ta có: 10 – 5 = 5 > 4 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài 10 cm; 5 cm; 4 cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ví dụ 2. Cho tam giác có độ dài cạnh lớn nhất bằng 4 cm và chu vi là C. Chứng minh rằng 8 cm < C < 12 cm.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c (cm).

Giả sử độ dài cạnh a lớn nhất bằng 4 cm thì b < 4 cm và c < 4 cm.

Suy ra C = a + b + c < 4 + 4 + 4 = 12 cm.

Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác b + c > a nên C = a + b + c > 2a = 8 cm.

Vậy 8 cm < C < 12 cm.