Lý thuyết Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Lý thuyết Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng
– Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm) hay ba điểm thẳng hàng, ta có thể vận dụng các định lí về các đường thẳng đồng quy của tam giác:
+ Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này là trọng tâm của tam giác.
+ Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
Chú ý: Một số bài toán có thể đưa bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC. Chứng minh ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
Hướng dẫn giải:
Vì ΔABC cân tại A nên AB = AC.
Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.
Xét ΔAMB và ΔAMC có:
AB = AC (chứng minh trên);
AM là cạnh chung;
MB = MC (chứng minh trên)
Do đó ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Do đó AM là tia phân giác của .
Xét ΔABC có AM, BD, CE là các đường phân giác. Từ tính chất ba đường phân giác trong tam giác, suy ra ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
Ví dụ 2. Cho ΔABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho . Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
⦁ Ta có: BD // EF suy ra (so le trong).
DF // BC suy ra (so le trong)
Xét ΔBED và ΔFDE có:
(chứng minh trên);
ED là cạnh chung;
(chứng minh trên)
Do đó ΔBED = ΔFDE (g.c.g)
Suy ra BE = FD (hai cạnh tương ứng). (1)
⦁ Vì AD = AB nên A là trung điểm của BD.
Suy ra CA là đường trung tuyến của ΔBCD
Mà nên G là trọng tâm của ΔBCD.
Suy ra E là trung điểm của BC.
Khi đó: BE = EC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.
⦁ Xét ΔDMF và ΔCME có:
(chứng minh trên);
DF = CE (chứng minh trên);
(chứng minh trên)
Do đó ΔDMF = ΔCME (g.c.g)
Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).
Nên M là trung điểm của DC hay BM là trung tuyến của ΔBCD.
Khi đó điểm G thuộc BM.
Vậy: ba điểm B, G, M thẳng hàng.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chưa ba cạnh của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài tại B và C của ∆ABC. Ta sẽ chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.
Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ).
Ta cần chứng minh thêm MH = MK = MI.
Vì M thuộc tia phân giác của góc HBI nên MH = MI
Vì M thuộc phân giác của góc KCI nên MI = MK
Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)
Mà điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Vậy M thuộc phân giác của góc BAC và MH = MK = MI.