Lý thuyết So sánh và sắp xếp số hữu tỉ

a) So sánh hai số hữu tỉ

Để so sánh hai số hữu tỉ ta có thể so sánh bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Nếu hai số hữu tỉ ở dạng số thập phân, ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách so sánh hai số thập phân đó.

Cách 2: Đưa hai số hữu tỉ về hai phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn;

Cách 3: So sánh với số 0, so sánh với số 1, với –1,…: a < 0 và b > 0 thì a < b

Cách 4: Dựa vào phần bù của 1: Nếu 1 – a > 1 – b thì a < b

Cách 5: So sánh với phân số trung gian: a < b và b < c thì a < c.

Cách 6: Có thể sử dụng tính chất: Nếu a, b, c ∈ ℚ và a < b thì a + b < b + c.

b) Sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

Để sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ta có thể làm theo các bước:

Bước 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số và chia các phân số đó vào hai nhóm: phân số dương và phân số âm (bỏ qua bước này nếu tất cả các số hữu tỉ là số hữu tỉ dương hoặc âm)

+ Phân số dương là phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên cùng dấu.

+ Phân số âm là phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên trái dấu.

Bước 2: So sánh các phân số dương với nhau, các phân số âm với nhau

+ Đưa về phân số có mẫu số dương

+ So sánh tử số: phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Bước 3: Sắp xếp các phân số trên theo thứ tự từ tăng dần hoặc giảm dần (phân số âm luôn bé hơn phân số dương).

Ví dụ 1. So sánh các số hữu tỉ sau:

a) $\frac{2}{-9}$ và $\frac{-1}{3}$ ;                

b) $\frac{-3}{7}$ và  $\frac{-5}{-9}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  $\frac{2}{-9}=\frac{-2}{9}$ 

$\frac{-1}{3}=\frac{\left(-1\right).3}{3.3}=\frac{-3}{9}$ (quy đồng mẫu số)

Vì ‒2 > ‒3 nên $\frac{-2}{9}>\frac{-3}{9}$

Hay $\frac{2}{-9}$ > $\frac{-1}{3}$.

Vậy $\frac{2}{-9}$ > $\frac{-1}{3}$.

b) Ta có:

$\frac{-3}{7}$ < 0

$\frac{-5}{-9}=\frac{5}{9}>0$

Suy ra $\frac{-3}{7}$ < 0 < $\frac{-5}{-9}$ (so sánh với số 0)

Vậy $\frac{-3}{7}<\frac{-5}{-9}.$

Ví dụ 2. Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) 1; ‒2,25; $\frac{-4}{3}$.

b) $-\frac{1}{3};0,5;2,1;-1$.

Hướng dẫn giải

a) Ta so sánh hai số hữu tỉ âm ‒2,25; $\frac{-4}{3}$.

Có: $-2,25=\frac{-225}{100}=\frac{\left(-9\right).25}{4.25}=\frac{-9}{4}=\frac{\left(-9\right).3}{4.3}=\frac{-27}{12}$ và $\frac{-4}{3}=\frac{\left(-4\right).4}{3.4}=\frac{-16}{12}$

Vì ‒27 < ‒16  suy ra $\frac{-27}{12}<\frac{-16}{12}$.

Do đó $-2,25<\frac{-4}{3}$

Mà $\frac{-4}{3}<0<1$

Do đó $-2,25<\frac{-4}{3}<1$

Vậy các số đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: $-2,25;\frac{-4}{3};1$.

b) Ta chia các số $-\frac{1}{3};0,5;2,1;-1$ thành hai nhóm:

Nhóm 1: gồm các số hữu tỉ âm $-\frac{1}{3};-1$.

Nhóm 2: gồm các số hữu tỉ dương 0,5 và 2,1.

+) Ta so sánh nhóm 1: $-\frac{1}{3};-1$.

Có $1=\frac{3}{3}>\frac{1}{3}$ nên $-1<-\frac{1}{3}$ 

+) Ta so sánh nhóm 2: gồm hai số 0,5 và 2,1.

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở phần nguyên. Do 0 < 2 nên 0,5 < 2,1.

+) Nhóm 1 gồm các số thực âm, nhóm 2 gồm các số thực dương mà số thực dương luôn lớn hơn số thực âm.

Do đó ta có $-1<-\frac{1}{3}$ < 0,5 < 2,1.

Vậy sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta có: $-1;-\frac{1}{3};0,5;2,1.$