Lý thuyết Một số bài toán thực tế liên quan đại lượng tỉ lệ thuận

Để giải một số bài toán liên quan đại lượng tỉ lệ thuận ta áp dụng các tính chất sau:

− Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì:

+ Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

\(\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_3}}}{{{x_3}}} = ... = k\).

+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

\(\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}};\frac{{{y_1}}}{{{y_3}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_3}}};\frac{{{y_2}}}{{{y_3}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}};...\)

− Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}\) thì ta suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + g}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + g}}\)  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ 1. Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết rằng số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh?

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z (cây) lần lượt là số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C (0 < x, y, z < 24).

Số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nên ta có:

x : y : z = 32 : 28 : 36 hay \(\frac{x}{{32}} = \frac{y}{{28}} = \frac{z}{{36}}\).

Tổng số cây xanh phải chăm sóc là 24 cây nên x + y + z = 24.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{{32}} = \frac{y}{{28}} = \frac{z}{{36}} = \frac{{x + y + z}}{{32 + 28 + 36}} = \frac{{24}}{{96}} = \frac{1}{4}\).

Suy ra \(x = 32.\frac{1}{4} = 8\); \(y = 28.\frac{1}{4} = 7\); \(z = 36.\frac{1}{4} = 9\) (thỏa mãn)

Vậy số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 8 cây, 7 cây và 9 cây.

Ví dụ 2. Gọi x, y, z theo thứ tự là số vòng quay của kim giờ, kim phút và kim giây trong cùng một thời gian. Tìm hệ số tỉ lệ của z đối với x.

Hướng dẫn giải:

Trên đồng hồ có 12 số chia mặt đồng hồ thành 12 phần bằng nhau.

∙ Khi kim phút quay được một vòng thì kim giờ quay được một phần.

Suy ra khi kim phút quay được 12 vòng thì kim giờ quay được một vòng.

Do đó y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 12 tức là y = 12x.

∙ Khi kim giây quay được 60 vòng thì kim phút quay được một vòng.

Suy ra z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 60 tức là z = 60y.

Suy ra, z = 60y = 60 . 12x = 720x.

Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 720.