Lý thuyết Tính giá trị biểu thức số hữu tỉ

a) Tính giá trị biểu thức

Khi tính giá trị biểu thức của số hữu tỉ, ta thực hiện phép tính theo thứ tự thực hiện phép tính:

Bước 1: Với các biểu thức có dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

Ngoặc tròn ( ) → Ngoặc vuông [ ] → Ngoặc nhọn { }.

Bước 2: Với các biểu thức không có dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:

Lũy thừa → Nhân và chia → Cộng và trừ.

Bước 3: Rút gọn kết quả cuối cùng (nếu có thể).

Chú ý:

• Với các biểu thức chỉ có phép cộng và phép trừ hoặc chỉ có phép nhân và phép chia, ta thực hiện các phép tính từ trái sang phải.

• Khi thực hiện phép tính cần nắm vững cách thực hiện phép tính cộng, trừ, nhân, chia, phép tính luỹ thừa và tính chất của từng phép toán.

b) Tính giá trị biểu thức một cách hợp lí

Một số biểu thức ta có thể tính nhanh bằng cách sử dụng các tính chất:

+ Giao hoán, kết hợp;

+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

+ Quy tắc bỏ dấu ngoặc;

…

Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:

a) \(9.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + \frac{1}{6}.2\);

b) \({\left( { - 3} \right)^3}.\frac{1}{9} + {\left( { - 2019} \right)^0}.{\left( { - 1} \right)^{2019}}\);

c) \(\left( {\frac{1}{6} - \frac{3}{4}} \right).\left( { - 2\frac{1}{3}} \right) + {\left( { - 3} \right)^3}.\left( {7\frac{7}{9} - 8\frac{2}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \(9.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + \frac{1}{6}.2\)

\( = 9.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{3^3}}} + \frac{1}{{2.3}}.2\)

\( = {3^2}.\frac{{ - 1}}{{{3^2}.3}} + \frac{1}{3}\)

\( = \frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{3} = 0\).

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng 0.

b) \({\left( { - 3} \right)^3}.\frac{1}{9} + {\left( { - 2019} \right)^0}.{\left( { - 1} \right)^{2019}}\)

\( =  - 27.\frac{1}{{{3^2}}} + 1.\left( { - 1} \right)\)

\( =  - \left( {{3^3}} \right).\frac{1}{{{3^2}}} - 1 =  - 3 - 1 =  - 4\).

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –4.

c) \(\left( {\frac{1}{6} - \frac{3}{4}} \right).\left( { - 2\frac{1}{3}} \right) + {\left( { - 3} \right)^3}.\left( {7\frac{7}{9} - 8\frac{2}{3}} \right)\)

\( = \left( {\frac{2}{{12}} - \frac{9}{{12}}} \right).\left( { - \frac{7}{3}} \right) + \left( { - 27} \right).\left( {\frac{{70}}{9} - \frac{{26}}{3}} \right)\)

\( = \frac{{ - 7}}{{12}}.\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right) - 27.\left( {\frac{{70}}{9} - \frac{{78}}{9}} \right)\)

\( = \frac{{49}}{{36}} - 27.\left( {\frac{{ - 8}}{9}} \right) = \frac{{49}}{{36}} + \frac{{216}}{9}\)

\( = \frac{{49}}{{36}} + \frac{{864}}{{36}} = \frac{{913}}{{36}}\).

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng \(\frac{{913}}{{36}}\).

Ví dụ 2. Tính:

a) P = 1 – 2 + 2² – 2³ +...+ 2²⁰²²;

b) \(S = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2022.2023}}\).

Hướng dẫn giải:

a) P = 1 – 2 + 2² – 2³ +...+ 2²⁰²²

2P = 2 – 2² + 2³ – 2⁴ +...+ 2²⁰²³

Suy ra P + 2P = (1 – 2 + 2² – 2³ +...+ 2²⁰²²) + (2 – 2² + 2³ – 2⁴ +...+ 2²⁰²³)

Hay 3P = 1 + (–2 + 2) + (2² – 2²) + (–2³ + 2³) +...+ (2²⁰²² – 2²⁰²²) + 2²⁰²³

3P = 1 + 0 + 0 + 0 +...+ 0 + 2²⁰²³

3P = 1 + 2²⁰²³

\[P = \frac{{1 + {2^{2023}}}}{3}\]

Vậy \(P = \frac{{1 + {2^{2023}}}}{3}\).

b) \(S = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2022.2023}}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2023}}\)

\( = 1 + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( { - \frac{1}{{2022}} + \frac{1}{{2022}}} \right) - \frac{1}{{2023}}\)

\( = 1 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 - \frac{1}{{2023}}\)

\( = 1 - \frac{1}{{2023}} = \frac{{2023}}{{2023}} - \frac{1}{{2023}} = \frac{{2022}}{{2023}}\)

Vậy \(S = \frac{{2022}}{{2023}}\).