Lý thuyết Tính giá trị biểu thức có chứa lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

- Để tính giá trị biểu thức có chứa luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ, ta cần nắm vững định nghĩa cũng như các phép tính với luỹ thừa như sau:

Với x, y ∈ ℚ và m, n ∈ ℕ:

• Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: \[{x^n} = \underbrace {x.x.\;...\;.x\;}_{n{\rm{ thua so x}}};\]

• Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: với x ≠ 0, m ≥ n ta có

x^m. xⁿ = x^{m + n}; x^m : xⁿ = x^{m – n}

• Luỹ thừa của một luỹ thừa: (x^m)ⁿ = x^{m. n}

• Luỹ thừa của một tích, một thương:

(x. y)ⁿ = xⁿ. yⁿ;

\({\left( {\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} \right)^{\rm{n}}} = \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{n}}}}}\) (với y ≠ 0)

• Quy ước: x⁰ = 1 và x¹ = x (với x ≠ 0).

- Phương pháp biến đổi các luỹ thừa về dạng các lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ hoặc cùng cả cơ số và số mũ:

• Nếu đưa về cùng cơ số: Ta thường chuyển các lũy thừa về lũy thừa dưới cơ số chung là ước chung nhỏ nhất khác 1 của các cơ số.

• Nếu đưa về cùng số mũ: Ta thường chuyển các lũy thừa về lũy thừa với số mũ chung là bội chung nhỏ nhất (hoặc ước chung lớn nhất) của các số mũ.

Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

a) 8².2⁴;

b) 7¹².27⁴;

c) 2²³ : 4³;

d) (0,125)⁸.64⁴;

e) \(\frac{{{{27}^4}{{.3}^2}}}{{{9^3}}}\);

f) \(\frac{{{{\left( {\frac{1}{8}} \right)}^3}{{.64}^4}}}{{{4^3}}}\);

Hướng dẫn giải:

a) 8².2⁴ = (2³)².2⁴ = 2^3.2.2⁴ = 2⁶.2⁴ = 2^{6 + 4} = 2¹⁰.

b) 7¹².27⁴ = 7¹².(3³)⁴ = 7¹².3^3.4 = 7¹².3¹² = (7.3)¹² = 21¹².

b) 2²³ : 4³ = 2²³ : (2²)³ = 2²³ : 2^2.3 = 2²³ : 2⁶ = 2^{23 – 6} = 2¹⁷.

d) (0,125)⁸.64⁴ = (0,125)⁸.(8²)⁴ = (0,125)⁸.8^2.4 = (0,125)⁸.8⁸ = (0,125.8)⁸ = 1⁸.

e) \(\frac{{{{27}^4}{{.3}^2}}}{{{9^3}}} = \frac{{{{\left( {{3^3}} \right)}^4}{{.3}^2}}}{{{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}} = \frac{{{3^{3.4}}{{.3}^2}}}{{{3^{2.3}}}} = \frac{{{3^{12}}{{.3}^2}}}{{{3^6}}} = \frac{{{3^{12 + 2}}}}{{{3^6}}} = \frac{{{3^{14}}}}{{{3^6}}} = {3^{14 - 6}} = {3^8}\).

f) \(\frac{{{{\left( {\frac{1}{8}} \right)}^3}{{.64}^4}}}{{{4^3}}} = \frac{{\frac{{{1^3}}}{{{8^3}}}.{{\left( {{2^6}} \right)}^4}}}{{{{\left( {{2^2}} \right)}^3}}} = \frac{{\frac{{{2^{6.4}}}}{{{8^3}}}}}{{{2^{2.3}}}} = \frac{{\frac{{{2^{24}}}}{{{{\left( {{2^3}} \right)}^3}}}}}{{{2^6}}} = \frac{{\frac{{{2^{24}}}}{{{2^9}}}}}{{{2^6}}} = \frac{{{2^{24 - 9}}}}{{{2^6}}} = \frac{{{2^{15}}}}{{{2^6}}} = {2^{15 - 6}} = {2^9}\).

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \[A = {3^{19}}.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^9}\];

b) \[B = {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{14}}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}}\];

c) \[C = \frac{{{2^5}{{.5}^5} - {{10}^6}}}{{{{3.5}^5}}}\];

d) \[D = \frac{{{{\left( {0,25} \right)}^4}{{.2}^9} + 6}}{{{2^5} - 16}}\].

Hướng dẫn giải:

a) \(A = {3^{19}}.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^9} = {3^{19}}.\frac{{{1^9}}}{{{9^9}}} = \frac{{{3^{19}}}}{{{{\left( {{3^2}} \right)}^9}}} = \frac{{{3^{19}}}}{{{3^{2.9}}}} = \frac{{{3^{19}}}}{{{3^{18}}}} = {3^{19 - 18}} = {3^1} = 3\).

b) \[B = {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{14}}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}} = {\left( {\frac{{{1^2}}}{{{4^2}}}} \right)^{14}}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} \right]^{14}}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2.14}}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}}\].

\[ = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{28 - 28}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^0} = 1\].

c) \[C = \frac{{{2^5}{{.5}^5} - {{10}^6}}}{{{{3.5}^5}}} = \frac{{{{\left( {2.5} \right)}^5} - {{10}^1}{{.10}^5}}}{{{{3.5}^5}}} = \frac{{{{10}^5} - {{10.10}^5}}}{{{{3.5}^5}}}\].

\[ = \frac{{{{10}^5}.\left( {1 - 10} \right)}}{{{{3.5}^5}}} = \frac{{{{10}^5}.\left( { - 9} \right)}}{{{{3.5}^5}}} = \frac{{ - 9}}{3}.{\left( {\frac{{10}}{5}} \right)^5} =  - {3.2^5} =  - 3.32 =  - 96\].

d) \[D = \frac{{{{\left( {0,25} \right)}^4}{{.2}^9} + 6}}{{{2^5} - 16}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^4}{{.2}^9} + 6}}{{{2^5} - {2^4}}} = \frac{{\frac{{{1^4}}}{{{4^4}}}{{.2}^9} + 6}}{{{2^4}.\left( {2 - 1} \right)}}\].

\[ = \frac{{\frac{1}{{{{\left( {{2^2}} \right)}^4}}}{{.2}^9} + 6}}{{{2^4}.1}} = \frac{{\frac{{{2^9}}}{{{2^8}}} + 6}}{{16}} = \frac{{{2^{9 - 8}} + 6}}{{16}} = \frac{{2 + 6}}{{16}} = \frac{8}{{16}} = \frac{1}{2}\].