Lý thuyết Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng

– Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm) hay ba điểm thẳng hàng, ta có thể vận dụng các định lí về các đường thẳng đồng quy của tam giác:

+ Các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

+ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

+ Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

? Chú ý:

⦁ Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.

⦁ Trong một tam giác cân, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường cao của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC.

Suy ra AM cũng là đường trung trực của BC (1)

Xét ∆ABC cân tại A có đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E.

Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2), suy ra ba điểm A, E, M thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Chứng minh AK, DK, BC đồng quy

Hướng dẫn giải:

Vì AB ⊥ AC và DK // AB nên DK ⊥ AC.

Xét ∆ADC có: DK ⊥ AC, CH ⊥ AD và DK cắt CH tại K nên K là trực tâm ∆ADC.

Suy ra AK ⊥ CD.

Do đó ba đường thẳng AK, DK, BC đồng quy.