Lý thuyết Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số lượng giác

Ø Để giải các bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số lượng giác, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Đọc, hiểu nội dung bài toán thực tiễn đã cho.

Bước 2: Phân tích bài toán để nhận diện bài toán thuộc nội dung kiến thức nào liên quan đến hàm số lượng giác.

Bước 3: Dùng kiến thức đã học, giải bài toán.

Bước 4: Kết luận.

Ø Một số kiến thức cần nhớ:

* Hàm số y = sinx

– Tập xác định: D = ℝ.

– Tập giá trị: [–1; 1].

– Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

– Tuần hoàn với chu kì T = 2π.

* Hàm số y = cosx

– Tập xác định: D = ℝ.

– Tập giá trị: [–1; 1].

– Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

– Tuần hoàn với chu kì T = 2π.

* Hàm số y = tanx

– Tập xác định: .

– Tập giá trị: ℝ.

– Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.

– Tuần hoàn với chu kì T = π.

* Hàm số y = cotx

– Tập xác định: .

– Tập giá trị: ℝ.

– Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

– Tuần hoàn với chu kì T = π.

Chú ý: ∀x ∈ ℝ, n ∈ ℕ^* ta luôn có:

+) –1 ≤ sinx ≤ 1,    –1 ≤ sin²ⁿ⁺¹x ≤ 1.

+) –1 ≤ cosx ≤ 1,    –1 ≤ cos²ⁿ⁺¹x ≤ 1.

+) 0 ≤ |sinx| ≤ 1,     0 ≤ sin²ⁿx ≤ 1.

+) 0 ≤ |cosx| ≤ 1,    0 ≤ cos²ⁿx ≤ 1.

Ví dụ 1. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của mực nước được mô hình hóa bởi hàm số $h\left(t\right)=90 \cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$ , trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimet trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số $h\left(t\right)=90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$  là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi }{10}}}=20$ .

Vậy chu kì của sóng là T = 20 giây.

b) Hàm số $h\left(t\right)=90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$  có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 90 và – 90.

Vây chiều cao của sóng là 180 cm.

Ví dụ 2. Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: x = 3cosꞷt, trong đó t là thời gian tính bằng giây, x là li độ dao động tính bằng centimet, ꞷ là hằng số (ꞷ > 0). Khi đó, chu kì T của dao động là $T=\frac{2\pi }{\omega }$ .

Xác định giá trị của li độ khi t = 0, t = , t = , t = , t = T và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0; 2T].

Hướng dẫn giải:

– Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0; 2T]:

Ta có bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$  trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$  trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$  trên đoạn [0; 2T] như sau: