Lý thuyết Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

* Tập xác định của hàm số lượng giác

– Hàm số y = sin x, y = cos x xác định trên ℝ.

Khi đó, y = sin[u(x)], y = cos [u(x)] xác định khi và chỉ khi u(x) xác định.

– Hàm số y = tan x có tập xác định là $D = \mathrm{ℝ} \setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi | k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ .

Khi đó, y = tan [u(x)] có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ .

– Hàm số y = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Khi đó, y = cot [u(x)] có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) ≠ kπ, k ∈ ℤ.

* Một số chú ý khi tìm điều kiện xác định:

– Hàm số $y=\sqrt{f\left(x\right)}$  xác định khi f(x) ≥ 0.

– Hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)}$  xác định khi f(x) ≠ 0.

– Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}$  xác định khi f(x) > 0.

– Một số trường hợp đặc biệt:  

$\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$;

$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$;

$\sin x\ne \pm 1\iff x\ne \pm \frac{\pi }{2}+2k\pi , k \in \mathrm{\mathbb{Z}}$;

$\cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi , k \in \mathrm{\mathbb{Z}}$;

$\cos x\ne ‐1\iff x\ne \pi +2k\pi , k \in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ ;

b) $y=cot\left(‐2x-\frac{\pi }{3}\right)$;

c) $y=\frac{\sin 2x+1}{\sin 4x-1}$;

d) $y=2\cos \sqrt{x^2-3x+2}$ .

Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức $\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ có nghĩa khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$ , tức là $x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$ .

Hay $x\ne \frac{2\pi }{3}+k\pi \left(k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=R \setminus \left\{‐\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2},k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ .

b) Biểu thức $cot\left(‐2x-\frac{\pi }{3}\right)$ có nghĩa khi và chỉ khi $‐2x-\frac{\pi }{3}\ne k\pi \left(k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$, tức là $x\ne ‐\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2} \left(k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$ .

Tập xác định của hàm số là $D=R\setminus \left\{‐\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2},k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ .

c) Biểu thức $\frac{\sin 2x+1}{\sin 4x-1}$ có nghĩa khi sin 4x ≠ 1, tức là $4x\ne \frac{\pi }{2}+2k\pi \left(k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$ .

Hay $x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=R\setminus \left\{\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}| k \in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ .

d) Biểu thức $2\cos \sqrt{x^2-3x+2}$  có nghĩa khi x2 – 3x + 2 ≥ 0, tức là x ≤ 1 hoặc x ≥ 2.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (–∞; 1] ∪ [2; +∞).

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{5-m\sin x-\left(m+1\right)\cos x}$  xác định trên ℝ.

Hướng dẫn giải: