Lý thuyết Xác định tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì của hàm số

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Để xác định tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x), ta thực hiện theo các bước sau:

ü Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Tập D phải đối xứng, tức là nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

– Nếu tập D đối xứng, thực hiện tiếp Bước 2.

– Nếu tập D không đối xứng, dừng lại và kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

ü Bước 2: Tính f(– x) và thu gọn kết quả. Khi đó

– Nếu f(– x) = f(x): hàm số đã cho là hàm số chẵn.

– Nếu f(– x) = – f(x): hàm số đã cho là hàm số lẻ.

– Nếu không rơi vào hai trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Chú ý:

– Các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x là hàm số lẻ.

– Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

– Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là tung là trục đối xứng.

– Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với ∀x ∈ D  ta có:

i) x + T ∈ D  và x – T ∈ D;

ii) f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

→ Để xác định một hàm số là hàm số tuần hoàn, ta cần kiểm tra 2 điều kiện i) và ii).

Chú ý:

– Các hàm số y = sinx, y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π.

– Các hàm số y = tanx, y = cotx tuần hoàn với chu kì π.

– Các hàm số y = Asin (ax + b), y = Acos (ax + b) (với a ≠ 0) tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{\left|a\right|}$ .

– Các hàm số y = Atan(ax + b), y = Acot (ax + b) tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{\left|a\right|}$ .

– Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có chu kì lần lượt là a và b với $\frac{a}{b}\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ .

Khi đó hàm số F(x) = m.f(x) + n.g(x) tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = 2sinx + 3tanx;

b) y = x sin2023x ∙ cos 4x.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt y = f(x) = 2sinx + 3tanx.

Tập xác định của hàm số là $D=\mathrm{ℝ} \setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi I k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = 2sin(–x) + 3tan(–x) = –2sinx – 3tanx = – (2sinx + 3tanx) = –f(x), ∀x ∈ D.

Vậy y = 2sinx + 3tanx là hàm số lẻ.

b) Đặt y = f(x) = x sin2023x ∙ cos 4x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = (– x) ${\sin }^{2023}$(– x) ∙ cos (– 4x) = x ${\sin }^{2023}$x ∙ cos 4x.

Vậy y = x ${\sin }^{2023}$x ∙ cos 4x là hàm số chẵn trên D.

Ví dụ 2. Xác định chu kì của các hàm số sau:

a) y = 4${\sin }^2$ 2x;

b) y = sin2x + cos4x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $y=4{\sin }^{2}2x=4.\frac{1-4\cos x}{2}=2-2\cos 4x$ .

Vậy hàm số y = 4${\sin }^2$ 2x tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ .

b) Hàm số f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kì $T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi$ .

Hàm số g(x) = cos4x tuần hoàn với chu kì $T_2=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ .

Vậy hàm số y = f(x) + g(x) = sin2x + cos4x tuần hoàn với chu kì π.