Lý thuyết Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ta thường dùng một trong các phương pháp sau:

* Phương pháp 1: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản

∀x ∈ ℝ, n ∈ ℕ^* ta luôn có:

ü –1 ≤ sin x ≤ 1,    –1 ≤ sin^{2n + 1}x ≤ 1.           

ü –1 ≤ cos x ≤ 1,   –1 ≤ cos^{2n + 1}x ≤ 1.

ü 0 ≤ |sin x| ≤ 1,    0 ≤ sin²ⁿx ≤ 1.

ü 0 ≤ |cos x| ≤ 1,   0 ≤ cos²ⁿx ≤ 1.

* Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D.

+ Số thực dương M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

+ Số thực dương m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

* Phương pháp 3: Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số, từ đó rút ra kết luận.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2sin4x + 5;

b) y = 3 – 2cos2x.

Hướng dẫn giải:

a) ∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sin4x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2sin4x ≤ 2 ⇔  3 ≤ 2sin4x + 5 ≤ 7.

Vậy $$\begin{gathered} max y=7 \\ \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$ đạt được khi sin4x = 1 $\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ .

$min y=3$đạt được khi sin4x = –1 $\iff 4x=‐\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\iff x=‐\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ .

Ví dụ 2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  lần lượt là M và m. Tính tổng M + m.

Hướng dẫn giải: