100 bài tập về bất phương trình mũ (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán
Cách giải các dạng toán về bất phương trình mũ gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về bất phương trình mũ của hàm số. Mời các bạn đón xem:
Nội dung bài viết
Xem thêm »
Bất phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập
I. LÝ THUYẾT
* Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.
af(x)>ag(x)⇔[{a>1f(x)>g(x){0<a<1f(x)<g(x)
* Tương tự với bất phương trình dạng:
[af(x)≥ag(x)af(x)<ag(x)af(x)≤ag(x)
* Trong trường hợp cơ sốcó chứa ẩn số thì:
aM>aN⇔(a−1)(M−N)>0
* Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Sử dụng tính đơn điệu:
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì:
f(u)<f(v)⇒u>v
Hàm số y = f(x) đồng biến biến trên D thì:
f(u)<f(v)⇒u<v
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản
A. Phương pháp
Xét bất phương trình có dạng: ax>b.
- Nếu b≤0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax>b,∀x∈ℝ..
- Nếu b>0 thì bất phương trình tương đương với ax>alogab.
+Với a>1, nghiệm của bất phương trình là x>logab.
+Với 0<a<1, nghiệm của bất phương trình là x<logab.
Chú ý
+ Xét bất phương trình: af(x)>b (1)
Nếu {0<a≠1b≤0 thì (1) luôn đúng.
Nếu {b>00<a<1thì (1)⇔f(x)<logab
Nếu {b>01<athì (1)⇔f(x)>logab
+ Xét bất phương trình: af(x)<b (2)
Nếu {0<a≠1b≤0 thì (2) vô nghiệm.
Nếu {b>00<a<1 thì (2)⇔f(x)>logab
Nếu {b>01<a thì (2)⇔f(x)<logab : °aABC
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2x>3x+1 là
A. (−∞;log23]
B. (−∞;log233)
C. ∅
D. (log233;+∞)
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
2x>3x+1⇔2x>3.3x⇔(23)x>3⇔x<log233
Vậy tập nghiệm của BPT là S=(−∞;log233).
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2x+2x+1≤3x+3x−1
A. x∈[2;+∞)
B. x∈(2;+∞)
C. x∈(−∞;2)
D. (2;+∞)
Hướng dẫn giải
2x+2x+1≤3x+3x−1⇔3.2x≤43.3x⇔(32)x≥94⇔x≥2
Vậy tập nghiệm của BPT là S=[2;+∞)
Chọn D.
Câu 3: Nghiệm của bất phương trình 3x3x−2<3 là:
A. [x>1x<log32
B. x>log32
C. x<1
D. log32<x<1
Hướng dẫn giải
3x3x−2<3⇔3x−33x−2>0⇔[3x>33x<2⇔[x>1x<log32
Chọn A.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9x−2+3x+√x−23.32√x+1≥0 là:
A. S=[1;+∞)∪{0}
B. S=[1;+∞)
C. S=[0;+∞)
D. S=[2;+∞)∪{0}
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2x+4.5x−4<10x là:
A. [x<0x>2.
B. x<0.
C. x>2.
D. 0<x<2.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số
A. Phương pháp
Xét bất phương trình af(x)>ag(x)
Nếu a > 1 thì af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x) (cùng chiều khi a > 1)
Nếu 0 < a < 1 thì af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x) (ngược chiều khi 0 < a < 1)
Nếu a chứa ẩn thì af(x)>ag(x)⇔(a−1)[f(x)−g(x)]>0(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2x−1>(116)1x.
A. S=(2; +∞)
B. S=(−∞; 0)
C. S=(0; +∞)
D. S=(−∞; +∞)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình (15)x2−2x≥1125.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
(15)x2−2x≥1125⇔x2−2x≤3⇔(x+1)(x−3)≤0⇔−1≤x≤3
Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là x={1;2;3}.
Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên dương của BPT.
Câu 3: Giải bất phương trình (13)−3x2<32x+1 ta được tập nghiệm:
A. (−∞;−13)
B. (1;+∞)
C. (−13;1)
D. (−∞;−13)∪(1;+∞)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
(13)−3x2<32x+1⇔3x2<2x+1⇔−13<x<1
Vậy tập nghiệm của BPT là S=(−13;1).
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 2x+2<(14)x là
A. (−∞;−23)
B. (0;+∞)\{1}
C. (−∞;0)
D. (−23;+∞)
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có :
2x+2<(14)x⇔2x+2<2⇔x+2<−2x⇔x<−23
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−∞;−23).
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình (12)2x+1<(12)3x−2
A. S=(−∞;3)
B. S=(3;+∞)
C. S=(−∞;−3)
D. S=(−12;3)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
(12)2x+1<(12)3x−2⇔2x+1>3x−2
(vì 0<12<1) ⇔x<3
Vậy tập nghiệm của BPT có dạng S=(−∞;3).
Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ
A. Phương pháp giải:
Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 32x+1−10.3x+3≤0 là
A. [−1;0)
B. (−1;1)
C. (0;1].
D. [−1;1]
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 2: Nghiệm của bất phương trình ex+e−x<52 là
A. x<12 hoặc x>2.
B. 12<x<2.
C. −ln2<x<ln2
D. x<−ln2 hoặc x>ln2.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có :
ex+e−x<52⇔ex+1ex<52⇔2(ex)2−5ex+2<0⇔12<ex<2⇔−ln2<x<ln2
Câu 3: Nghiệm của bất phương trình 9x−1−36.3x−3+3≤0 là
A. x≥1
B. x≤3
C. 1≤x≤3
D. 1≤x≤2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 4: Bất phương trình 9x−3x−6<0 có tập nghiệm là
A. (−∞;1)
B. (−∞;−2)∪(3;+∞)
C. (1;+∞)
D. (−2;3).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
9x−3x−6<0⇔(3x)2−3x−6<0⇔−2<3x<3⇔x<1
Vậy tập nghiệm của BPT là S=(−∞;1).
Câu 5: Tập hợp nghiệm của bất phương trình 33x−2+127x≤23 là
A. (0;1).
B. (1;2).
C. {13}.
D. (2;3).
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
33x−2+127x≤23⇔33x9+133x≤23⇔(33x)2−6.33x+9≤0⇔(33x−3)2≤0⇔33x−3=0⇔x=13.
Vậy tập nghiệm của BPT là S={13}.
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 13x+5≤13x+1−1 là:
A. −1<x≤1.
B. x≤−1.
C. x>1.
D. 1<x<2.
Hướng dẫn giải
Đặt t=3x (t>0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
1t+5≤13t−1⇔{3t−1>03t−1≤t+5⇔13<t≤3⇔−1<x≤1.
Chọn A.
Dạng 4. Phương pháp logarit hóa
A. Phương pháp
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tìm tập của bất phương trình: 3x.5x2<1
A. (−log53;0]
B. [log35;0)
C. (−log53;0)
D. (log35;0)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
3x.5x2<1⇔log5(3x.5x2)<0⇔x2+xlog53<0⇔−log53<x<0
nên S=(−log53;0)
Câu 2: Cho hàm số f(x)=2x.3x2. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(x)<1⇔xlog132−x2>0
B. f(x)<1⇔x+x2log23>0
C. f(x)<1⇔xlog32+x2<0
D. f(x)<1⇔xln2+x2ln3<0
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
f(x)<1⇔[log13(2x.3x2)<log131log2(2x.3x2)<log21log3(2x.3x2)<log31ln(2x.3x2)<ln1⇔[xlog132−x2>0x+x2log23<0xlog32+x2<0xln2+x2ln3<0
Đáp án sai là B.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2.3x−2x+23x−2x≤1 là:
A. x∈(0;log323].
B. x∈(1;3).
C. x∈(1;3].
D. x∈[0;log323].
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 4x+4x+2+4x+4≥5x+5x+2+5x+4 là:
A. T=(−∞; log453113].
B. T=[log453113; +∞).
C. T=(−∞; log453113).
D. T=(log453113; +∞).
Câu 3: Cho bất phương trình: 3x+3x+1+3x+2≤4x+4x+1+4x+2 (1)
Tập nghiệm của bất phương trình (1) là:
A. [log342113; +∞)
B. (−∞; log342113]
C. (log342113; +∞)
D. (−∞; log342113).
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 3x.x2+54x+5.3x>9x2+6x.3x+45 là:
A. (−∞;1)∪(2;+∞).
B. (−∞;1)∪(2;5).
C. (−∞;1)∪(5;+∞).
D. (1;2)∪(5;+∞).
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình (2x−4)(x2−2x−3)<0 là
A. (−∞;−1)∪(2;3)
B. (−∞;1)∪(2;3)
C. (2;3)
D. (−∞;−2)∪(2;3)
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 3x+2≥19 là:
A. x≥−4
B. x<0
C. x>0
D. x<4.
Câu 7: Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình: 2−|x|>18
A. x > 3 hoặc x < -3.
B. -3
C. x < -3
D. x >3
Câu 8: Giải bất phương trình 2−x2+3x>4
A. [x>2x<1
B. 2<x<4
C. 1<x<2.
D. 0<x<2.
Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 0,3x2+x>0,09
A. (−∞; −2)
B. (−∞; −2)∪(1; +∞)
C. (−2; 1)
D. (1; +∞).
Câu 10: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình (π3)1x<(π3)3x+5
A. S=(−∞;−25)
B. S=(−∞;−25)∪(0;+∞).
C. S=(0;+∞).
D. S=(−25;+∞).
Câu 11: Tập các số x thỏa mãn (32)4x≤(32)2−x là:
A. (−∞;23]
B. [−23;+∞)
C. (−∞;25]
D. [25;+∞)
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình (√5−2)2xx−1≤(√5+2)x là:
A. (−∞;−1]∪[0;1]
B. [−1;0]
C. (−∞;−1)∪[0;+∞)
D. [−1;0]∪(1;+∞).
Câu 13: Nghiệm của bất phương trình (12)9x2−17x+11≥(12)7−5x là
A. x≤23
B. x>23
C. x≠23
D. x=23
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 12√x2−2x−2x2≤0 là
A. [0; 2]
B. (−∞; 1]
C. (−∞; 0]
D. [2;+∞).
Câu 15: Bất phương trình 2.5x+2+5.2x+2≤133.√10x có tập nghiệm là S=[a;b] thì bằng
A. 6.
B. 10.
C. 12.
D. 16.
Câu 16: Bất phương trình 2.5x+2+5.2x+2≤133.√10x có tập nghiệm là S=[a;b] thì b−2a bằng
A. 6.
B. 10.
C. 12.
D. 16.
Câu 17: Giải bất phương trình 24x−12x+1<22−2x2x+1+1.
A. [x<−12x>1
B. −12<x<1
C. x>1
D. x<−12.
Câu 18: Tìm m để bất phương trình m.9x−(2m+1).6x+m.4x≤0 nghiệm đúng với mọi x∈(0;1).
A. 0≤m≤6
B. m≤6
C. m≥6
D. m≤0
ĐÁP ÁN