100 bài tập về phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

1. Lý thuyết

- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0).

- Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$.

2. Các dạng bài tập

2.1 Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$, ta được:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (*)

* Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

$\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt $\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\cos \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $\alpha \in \left[0;2\pi \right)$

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

$\sin x\sin \alpha +\cos x\cos \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \cos \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

$$\begin{gathered} 0\le \left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1\iff \left|c\right|\le \sqrt{a^2+b^2} \\ \iff c^2\le a^2+b^2 \end{gathered}$$.

Chú ý: Các công thức đặc biệt

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{2}$

b) 5sin2x +12cos2x = 13

c) sin2x - 2cosxsinx + 1 = 0

Lời giải

a) $\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{2}$

$\iff \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1)

Đặt $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2};\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Khi đó (1)$\iff \sin 4x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 4x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(4x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{l}4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}4x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ 4x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.(k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

b) $5\sin 2x+12\cos 2x=13$

$\iff \frac{5}{13}\sin 2x+\frac{12}{13}\cos 2x=1$ (2)

Đặt $\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}$ với $\alpha \in \left[0;2\pi \right)$

Khi đó (2)$\iff \sin 2x\cos \alpha +\cos 2x\sin \alpha =1$

$$\begin{gathered} \iff \sin \left(2x+\alpha \right)=1 \\ \begin{array}{l}\iff 2x+\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff 2x=-\alpha +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff x=-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$ với $\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}$.

c) sin2x - 2cosxsinx + 1 = 0

$\begin{array}{l}\iff \frac{1-\cos 2x}{2}-\sin 2x+1=0\\ \iff 1-\cos 2x-2\sin 2x+2=0\\ \iff \cos 2x+2\sin 2x=3\end{array}$

Ta thấy: 12 + 22 < 32. Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$

b) $\cos 3x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 3x)$

Lời giải

a) $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$

$\begin{array}{l}\iff 3\sin 3x-4{\sin }^{3}3x-\sqrt{3}\cos 9x=1\\ \iff \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1\\ \iff \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\\ \iff \sin 9x.\cos \frac{\pi }{3}-\cos 9x.\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\end{array}$
$\begin{array}{l}\iff \sin \left(9x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \iff \left[\begin{array}{l}9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 9x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}9x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 9x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}\end{array}\right.,\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}$; $x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{12}-k\pi ;x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$.

2.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm

- Phương pháp giải:

Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$.

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: ${\left(m-1\right)}^2+2^2\ge {\left(m+3\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff m^2-2m+1+4\ge m^2+6m+9\\ \iff -8m\ge 4\iff m\le -\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy $m\le -\frac{1}{2}$ thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: ${\left(m-1\right)}^2+m^2\ge {\left(m+1\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff m^2-2m+1+m^2\ge m^2+2m+1\\ \iff m^2-4m\ge 0\\ \iff m\left(m-4\right)\ge 0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m-4\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m-4\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\ge 4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m\le 4\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 4\\ m\le 0\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $m\ge 4$ hoặc $m\le 0$ thì phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+1=0$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=2k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 2. Có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left(0;2\pi \right)$ của phương trình cos4x – sin4x = 1?

A. 5

B. 3

C. 6

D. 7

Câu 3. Họ nghiệm của phương trình: $\sin 3x-\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 5x$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{5}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 4. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\cos }^{2}x-\sin 2x=\sqrt{2}+{\sin }^{2}x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$.

A. $\frac{3\pi }{4}$

B. $\frac{7\pi }{8}$

C. $\frac{21\pi }{8}$

D. $\frac{11\pi }{4}$

Câu 5. Họ nghiệm của phương trình: $\sqrt{3}(\sin 2x+\cos 5x)=\sin 5x-\cos 2x$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}-\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{7}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{7}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 6. Các nghiệm của phương trình 1+ sin2x = cos 2x là:

A. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=k\pi ;x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 7. Số nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\pi \right)$ của phương trình sinx(sinx + 2cosx) = 2 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 8. Tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left(-\pi ;\pi \right)$ của phương trình $\sin x+\cos x=2\sqrt{2}\sin x\cos x$ là:

A. $\mathrm{\pi }$

B. $\frac{3\pi }{4}$

C. $\frac{\pi }{4}$

D. $\frac{\pi }{2}$

Câu 9. Họ nghiệm của phương trình: $4\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)+\sqrt{3}\sin 4x=2$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{7}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{7}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{5}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{5}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 10. Họ nghiệm của phương trình: $\frac{\cos x-2\sin x.\cos x}{2{\cos }^{2}x+\sin x-1}=\sqrt{3}$ là:

A. $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

C. $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

D. $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm.

A. $-\frac{5}{2}<m\le \frac{5}{2}$

B. $m\le -\frac{5}{2}$

C. $m\ge \frac{5}{2}$

D. $-\frac{5}{2}\le m\le \frac{5}{2}$

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình (m+1)sin2x – sin2x + cos2x = 0 có nghiệm?

A. 12

B. 13

C. 11

D. 10

Câu 13. Phương trình $2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos 2x+m=0$ có nghiệm khi và chỉ khi:

A. $-2\le m<2$

B. $-2\le m\le 2$

C. $m\le 2$

D. $-2<m\le 2$

Câu 14. Tìm m để phương trình (2m-1)cos2x + 2msinxcosx = m – 1 vô nghiệm.

A. $m\in \varnothing$

B. $m\in (-\infty ;0]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

C. $0\le m\le \frac{1}{2}$

D. $0<m<\frac{1}{2}$

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x+2$. Giá trị của M, m là:

A. M = 4; m = 0 B. M = 2; m = -2 C. D. M = 3; m = 1

Bảng đáp án