100 công thức về tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn chi tiết nhất (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn 

1. Tổng hợp lý thuyết

• Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(ax\right)}^{n-k}{\left(by\right)}^k$

$=C_n^0{a}^n{x}^n+C_n^1{a}^{n-1}b.x^{n-1}y$$+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2.x^{n-2}{y}^2+\mathrm{..}.$$+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}.x{y}^{n-1}+C_n^n{b}^n{y}^n$

•  Số hạng thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{n-k}{y}^k$
•  Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

2. Các công thức

• Với khai triển (axp + bxq)n (p,q là các hằng số)

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk} \end{gathered}$$

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

• Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n  (p,q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(b{x}^p\right)}^{k-j}{\left(c{x}^q\right)}^j$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm.

• Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x0.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x9 trong khai triển: (1 – 2x)=1515

Lời giải

Khai triển: ${\left(1–2x\right)}^{15}=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{\left(-2x\right)}^k$$=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{\left(-2\right)}^k{x}^k$

Cần tìm hệ số của x9 nên k = 9.

Vậy hệ số của x9 trong khai triển là: $C_{15}^9{\left(-2\right)}^9=-2562560$.

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển: ${\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^6$

Lời giải

Khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^6=\sum _{k=0}^6{C}_6^k{\left(2x\right)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^6{C}_6^k{2}^{6-k}{x}^{6-k}{\left(-1\right)}^k{\left(x^{-2}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^6{C}_6^k{2}^{6-k}{\left(-1\right)}^k{x}^{6-3k}\end{array}$

Cần tìm hệ số không chứa x nên $6-3k=0\iff k=2$

Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: $C_6^2{2}^{6-2}.{\left(-1\right)}^2=240$.