100 công thức về tính công sai của cấp số cộng (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức tính công sai của cấp số cộng

1. Lý thuyết

Định nghĩa: (un) là cấp số cộng khi $u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d gọi là công sai)

Công sai d của cấp số cộng là số không phụ thuộc vào n.

2. Công thức

- Tính công sai dựa vào định nghĩa: d = un+1 – un hoặc d = u2 – u1 = u3 – u2 = …

- Đề bài cho các dữ kiện khác: Lập hệ phương trình hai ẩn u1 và d. Tìm u1 và d.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: un+1 = un + 5. Tìm công sai của cấp số cộng.

b) Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: un+1 = – 3n + 5. Tìm công sai của cấp số cộng.

Lời giải

a) Công sai của cấp số cộng là: d = un+1 – un = 5.

b) Cách 1: Ta có: un = – 3(n – 1) + 5 = – 3n + 8

Công sai của cấp số cộng là: d = un+1 – un = (– 3n + 5) – (–3n + 8) = – 3.

Cách 2: Tính u1 = – 3.0 + 5 = 5 và u2 = – 3.1 + 5 = 2

Khi đó công sai của cấp số cộng: d = u2 – u1 = 2 – 5 = – 3.

Ví dụ 2:

a) Cho cấp số cộng (u­n) có u4 = – 12 và u14 = 18. Tìm u1, d của cấp số cộng?

b) Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\right.$.

Tìm công sai của cấp số cộng.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_4=-12\\ u_{14}=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=-12\\ u_1+13d=18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-21\\ d=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy u1 = – 21 và d = 3.

b) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\right. \\ \begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+4d+3\left(u_1+2d\right)-\left(u_1+d\right)=-21\\ 3\left(u_1+6d\right)-2\left(u_1+3d\right)=-34\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

Vậy u1 = 2 và d = – 3.