100 bài tập về dãy số (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Dãy số và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: $u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ$

$n\mapsto u\left(n\right).$

Dạng khai triển: u1; u2; u3 ;... ; un ;...

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với $m\in {\mathbb{N}}^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u1; u2; u3 ;... ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối.

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (un) được gọi là tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (un) được gọi là giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho $u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

2. Các dạng bài tập

2.1 Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng uk.

→ Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm.

Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=a\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.$ (với f(un) là một biểu thức của un). Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk-1 vào uk.

Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=a,u_2=b\\ u_{n+2}=c.u_{n+1}+d.u_n+e\end{array}\right.$. Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u3 ; u4;... ; uk bằng cách thế u1; u2 vào u3; thế u2;u3 vào u4; … ; thế uk -2; uk-1 vào uk.

Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=a\\ u_{n+1}=f\left(\left\{n,u_n\right\}\right)\end{array}\right.$. Trong đó f({n; un)}) là kí hiệu của biểu thức un + 1 tính theo un và n. Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế {1;u1} vào u2; thế {2;u2} vào u3; … ; thế {k-1;uk-1} vào uk.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi $u_n=\frac{n^2+3n+7}{n+1}$. Viết năm số hạng đầu của dãy.

Lời giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1^2+3.1+7}{1+1}=\frac{11}{2}\\ u_2=\frac{2^2+3.2+7}{2+1}=\frac{17}{3}\\ u_3=\frac{3^2+3.3+7}{3+1}=\frac{25}{4}\\ u_4=\frac{4^2+3.4+7}{4+1}=7\\ u_5=\frac{5^2+3.5+7}{5+1}=\frac{47}{6}\end{array}$

Vậy năm số hạng đầu của dãy là: $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4};7;\frac{47}{6}$.

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=0\\ u_{n+1}=\frac{n}{n+1}\left(u_n+1\right)\end{array}\right.$. Tìm số hạng u11.

A. $u_{11}=\frac{11}{2}$.

B. u11 = 4.

C. $u_{11}=\frac{9}{2}$.

D. u11 = 5.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_2=\frac{1}{2}(u_1+1)=\frac{1}{2}\\ u_3=\frac{2}{3}(u_2+1)=1\\ u_4=\frac{3}{4}(u_3+1)=\frac{3}{2}\\ u_5=\frac{4}{5}(u_4+1)=2\\ u_6=\frac{5}{6}(u_5+1)=\frac{5}{2}\\ u_7=\frac{6}{7}(u_6+1)=3\\ u_8=\frac{7}{8}(u_7+1)=\frac{7}{2}\\ u_9=\frac{8}{9}(u_8+1)=4\\ u_{10}=\frac{9}{10}(u_9+1)=\frac{9}{2}\\ u_{11}=\frac{10}{11}(u_{10}+1)=5\end{array}$

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1;u_2=2\\ u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+5\end{array}\right.$. Tìm số hạng u8.

A. u8 = 3050.

B. u8 = 5003.

C. u8 = 3500.

D. u8 = 3005.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

u3 = 2u2 + 3u1 + 5 = 12

u4 = 2u3 + 3u2 + 5 = 35

u5 = 2u4 + 3u3 + 5 = 111

u6 = 2u5 + 3u4 + 5 = 332

u7 = 2u6 + 3u5 + 5 = 1002

u8 = 2u7 + 3u6 + 5 = 3005

2.2 Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải

Cách 1: Xét hiệu un+1 – un

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì (un) là dãy số tăng.

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì (un) là dãy số giảm.

Cách 2: Khi $u_n>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì (un) là dãy số tăng.

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì (un) là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh $u_{n+1}>u_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (hoặc $u_{n+1}<u_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

- Dãy số (un) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Dãy số (un) có un = qn

+ Không tăng, không giảm khi q < 0

+ Giảm khi 0 < q < 1

+ Tăng khi q > 1

- Dãy số (un) có $u_n=\frac{an+b}{cn+d}$ với điều kiện

+ Tăng khi ad – bc > 0

+ Giảm khi ad – bc < 0

- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

- Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số (qn. un) (với q < 0) không tăng, không giảm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau $\left(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$:

a) un = 3n + 6

b) $u_n=\frac{n+5}{n+2}$

c) $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$

Lời giải

a) Ta có $u_n=3n+6\Rightarrow u_{n+1}=3\left(n+1\right)+6=3n+9$

Xét hiệu

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\left(3n+9\right)-\left(3n+6\right) \\ =3>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) Ta có $u_n=\frac{n+5}{n+2}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{n+1+5}{n+1+2}=\frac{n+6}{n+3}$

Xét hiệu

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{n+6}{n+3}-\frac{n+5}{n+2} \\ =\frac{\left(n+6\right)\left(n+2\right)-\left(n+5\right)\left(n+3\right)}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)} \end{gathered}$$

$=\frac{-3}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}<0$(do n là số tự nhiên)

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) Ta có $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$$\Rightarrow u_{n+1}=n+1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}$

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n\\ =\left[n+1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left[n-\sqrt{n^2-1}\right]\\ =\frac{1}{n+1+\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}<0\end{array}$

Vậy (un) là dãy số giảm.

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau $\left(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$:

a) $u_n=\frac{5^n}{n^2}$

b) $u_n=\frac{2^n}{n!}$

c) $u_n=\sqrt{n^2+n+1}$

Lời giải

a) Ta có $u_n=\frac{5^n}{n^2}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}$

Xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}.\frac{n^2}{5^n}=\frac{5n^2}{n^2+2n+1}$

$\begin{array}{l}=\frac{n^2+2n+1+4n^2-2n-1}{n^2+2n+1}\\ =1+\frac{2n\left(n-1\right)+2n^2-1}{n^2+2n+1}>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}$

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) $u_n=\frac{2^n}{n!}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}:\frac{2^n}{n!} \\ =\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}.\frac{n!}{2^n} \\ =\frac{2}{n+1}<1\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) $u_n=\sqrt{n^2+n+1}$

Ta có: $u_n=\sqrt{n^2+n+1}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow u_{n+1}=\sqrt{{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)+1}$

$$\begin{gathered} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{{(n+1)}^2+(n+1)+1}}{\sqrt{n^2+n+1}} \\ =\sqrt{\frac{n^2+3n+3}{n^2+n+1}}\text{>1 }\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy (un) là dãy số tăng.

2.3 Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

- Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f\left(n\right)\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ hoặc $u_n=f\left(n\right)\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (un) có $u_n=q^n\left(\left|q\right|\le 1\right)$ bị chặn

Dãy số (un) có $u_n=q^n\left(q<-1\right)$ không bị chặn

Dãy số (un) có un = qn với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (un) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a <0

Dãy số (un) có un = an2 + bn 8+ c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 +... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu am < 0

Dãy số (un) có $u_n=\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n)

Dãy số (un) có $u_n=\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$):

a) $u_n=\frac{4n+5}{n+1}$

b) un = 3n – 1

c) $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}$

Lời giải

a) $u_n=\frac{4n+5}{n+1}$

Ta có $u_n=\frac{4n+5}{n+1}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Mặt khác

$$\begin{gathered} u_n=\frac{4n+5}{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{n+1} \\ =4+\frac{1}{n+1}\le 4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2} \\ \Rightarrow u_n\le \frac{9}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Suy ra $0<u_n\le \frac{9}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy dãy số (un) bị chặn

b) un = 3n - 1

Ta có:

$$\begin{gathered} n\ge 1\iff 3n\ge 3 \\ \iff 3n-1\ge 2 \\ \iff u_n\ge 2\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy (un) bị chặn dưới; không bị chặn trên.

c) $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}$

Ta có $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n-1\end{array}\right.$

b) $u_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}$

Lời giải

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n-1\end{array}\right.$

Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: $-2\le u_n\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Với n = 1 ta có $-2\le u_1=1\le 1$ (đúng)

Giả sử mệnh đề trên đúng với $n=k\ge 1: -2\le u_k\le 1$

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

Ta có:

$\begin{array}{l}-2\le u_k\le 1\Rightarrow -1\le \frac{1}{2}{u}_k\le \frac{1}{2}\\ \Rightarrow -2\le \frac{1}{2}{u}_k-1\le -\frac{1}{2}\Rightarrow -2\le u_{k+1}\le 1\end{array}$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được $-2\le u_n\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (un) bị chặn.

b) $u_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}$

Xét $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{\left(k-1\right)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\ge 2$

Suy ra

$u_n<\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$$+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}<\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 0<u_n<\frac{3}{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (un) bị chặn

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho dãy số (un) biết $u_n=\frac{1}{n+1}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}.$

B. $1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}.$

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{6}.$

D. $1;\frac{1}{3};\frac{1}{5}.$

Câu 2. Cho dãy số (un) biết $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

A. $u_1=1,u_2=\frac{3}{4},u_3=\frac{7}{5},u_4=\frac{3}{2},u_5=\frac{11}{7}$

B. $u_1=1,u_2=\frac{5}{4},u_3=\frac{7}{5},u_4=\frac{3}{2},u_5=\frac{11}{7}$

C. $u_1=1,u_2=\frac{5}{4},u_3=\frac{8}{5},u_4=\frac{3}{2},u_5=\frac{11}{7}$

D. $u_1=1,u_2=\frac{5}{4},u_3=\frac{7}{5},u_4=\frac{7}{2},u_5=\frac{11}{3}$

Câu 3. Cho dãy số (un) xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=7\\ u_{n+1}=2u_n+3\end{array}\right.$ khi đó u5 bằng:

A. 317

B. 157

C. 77

D. 112

Câu 4. Cho dãy số (un) xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_n=2u_{n-1}+n^2\end{array}\right.(n\ge 2)$. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng

A. 0

B. 93

C. 9

D. 34

Câu 5. Cho dãy số (un) xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2,u_2=3\\ u_{n+1}=5u_n-6u_{n-1};n\ge 2.\end{array}\right.$. Tìm số hạng u8.

A. u8 = - 1803

B. u8 = - 5793

C. u8 = - 18147

D. u8 = - 537

Câu 6. Cho dãy số (un) biết $u_n=\sqrt{5n+2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 7. Cho dãy số (un) biết $u_n=\frac{10}{3^n}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. $u_{n-1}=\frac{10}{3^n-1}$

Câu 8. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm?

A. $u_n={\left(\frac{4}{3}\right)}^n.$

B. un = (- 1)n(5n - 1).

C. un = - 3n.

D. $u_n=\sqrt{n+4}.$

Câu 9. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không giảm?

A. $u_n=n+\frac{1}{n}.$

B. un = 5n + 3n.

C. un = - 3n.

D. $u_n={\left(-3\right)}^n.\sqrt{n^2+1}$.

Câu 10. Cho dãy số (un) biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=\frac{3u_n}{3+u_n}\end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số không tăng, không giảm.

D. Có u10 = 2.

Câu 11. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn?

A. $u_n=n+\frac{1}{n}.$

B. un = n + 1.

C. $u_n=\frac{n}{2n^2+1}$.

D. un = n2 + n + 1.

Câu 12. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}$

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: $u_n=\frac{2^n}{n!}$

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 14. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n.(n+2)}$

A. Bị chặn.

B. Không bị chặn.

C. Bị chặn trên.

D. Bị chặn dưới.

Câu 15. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}$.

A. Dãy số tăng, bị chặn.

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

C. Dãy số giảm, bị chặn trên.

D. Cả A, B, C đều sai.

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	B	B	D	A	A	B	C	D	B	C	C	C	A	A