100 bài tập về xét tính chẵn, lẻ của hàm số (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Tập đối xứng: ∀x∈D∀𝑥∈𝐷 thì −x∈D−𝑥∈𝐷 thì ta gọi D là tập đối xứng.

- Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D với D là tập đối xứng.

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D thì f(x) = f(-x)

+ Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D thì f(x) = - f(-x)

- Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

- Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

II. Các công thức

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D là tập đối xứng:

+ Hàm số chẵn ⇔{∀x∈D⇒−x∈Df(x)=f(−x)⇔∀𝑥∈𝐷⇒−𝑥∈𝐷𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)

+ Hàm số lẻ ⇔{∀x∈D⇒−x∈Df(x)=−f(−x)⇔∀𝑥∈𝐷⇒−𝑥∈𝐷𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)
- Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số: Cho hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Kiểm tra xem D có phải là tập đối xứng không:

Nếu ∃x0∈D⇒−x0∉D⇒∃𝑥0∈𝐷⇒−𝑥0∉𝐷⇒D không phải tập đối xứng ⇒⇒Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Nếu ∀x0∈D⇒−x0∈D⇒∀𝑥0∈𝐷⇒−𝑥0∈𝐷⇒D là tập đối xứng ⇒⇒Chuyển sang bước tiếp theo.

Bước 3: Xác định f(x0𝑥0) và f(-x0𝑥0) và so sánh:

Nếu f(x0𝑥0) = f(-x0𝑥0) ⇒⇒ Hàm số là chẵn.

Nếu f(x0𝑥0) = - f(-x0𝑥0) ⇒⇒ Hàm số là lẻ.

Nếu∃x0∈D⇒f(−x0)≠±f(x0)⇒∃𝑥0∈𝐷⇒𝑓(−𝑥0)≠±𝑓(𝑥0)⇒ Hàm số không chẵn cũng không lẻ

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = √2−x+1√2−x2−𝑥+12−𝑥

Lời giải:

Điều kiện xác định của hàm số: y = f(x) = √2−x+1√2−x2−𝑥+12−𝑥là: 2−x>0⇔x<22−𝑥>0⇔𝑥<2

⇒⇒Tập xác định D=(−∞;2)𝐷=(−∞;2)

Với x0=−3∈D𝑥0=−3∈𝐷 nhưng −x0=3∉D−𝑥0=3∉𝐷

⇒⇒ Hàm số y = f(x) = √2−x+1√2−x2−𝑥+12−𝑥 không chẵn cũng không lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = 3√x+x3𝑥3+𝑥3.

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = xác định trên

⇒⇒Tập xác định D = R

Ta có: ∀x∈D⇒−x∈D∀𝑥∈𝐷⇒−𝑥∈𝐷

Xét:

f(x) = 3√x+x3𝑥3+𝑥3

f(-x) =3√(−x)+(−x)3=3√(−1)x+(−1)3.x3=−3√x−x3=−(3√x+x3)(−𝑥)3+(−𝑥)3=(−1)𝑥3+(−1)3.𝑥3=−𝑥3−𝑥3=−𝑥3+𝑥3

⇒f(−x)=−f(x)⇒𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)

⇒⇒ Hàm số y = f(x) = 3√x+x3𝑥3+𝑥3 là hàm số lẻ.

Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = x4+√x2+4𝑥4+𝑥2+4

Lời giải:

Ta có: ∀x∈R⇒x2+4>0∀𝑥∈ℝ⇒𝑥2+4>0

⇒⇒Tập xác định của hàm số y = f(x) = x4+√x2+4𝑥4+𝑥2+4 là D=R𝐷=ℝ

⇒∀x∈D⇒−x∈D⇒∀𝑥∈𝐷⇒−𝑥∈𝐷

Xét:

f(x) = x4+√x2+4𝑥4+𝑥2+4

f(-x) = (−x)4+√(−x)2+4(−𝑥)4+(−𝑥)2+4

=(−1)4.x4+√(−1)2x2+4=x4+√x2+4⇒f(−x)=f(x)=(−1)4.𝑥4+(−1)2𝑥2+4=𝑥4+𝑥2+4⇒𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)

⇒⇒Hàm số y = f(x) = x4+√x2+4𝑥4+𝑥2+4là hàm số chẵn.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) f(x)=√x−3+√x+3𝑓(𝑥)=𝑥−3+𝑥+3

b) f(x)=x24−√x4+2𝑓(𝑥)=𝑥24−𝑥4+2

Bài 2: Tìm tham số m để hàm số f(x)=x2(x2−2)+(2m2−2)x√x2+1−m𝑓(𝑥)=𝑥2(𝑥2−2)+(2𝑚2−2)𝑥𝑥2+1−𝑚 là hàm số chẵn.