100 công thức về hoán vị chi tiết nhất (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức hoán vị 

1. Tổng hợp lý thuyết

- Cho tập A gồm n phần tử ($n\ge 1$). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hoán vị của A).

- Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

• Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử sắp xếp đúng bằng số phần tử trong nhóm (bằng n).
•  Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1
• Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.

2. Công thức tính

Công thức hoán vị: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Xếp bất kì

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau

c) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau

Lời giải

a) Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!

b) Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp bên trong “bó”

Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp.

Vậy có 5! . 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau.

c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10.

Để xếp xen kẽ các bạn nam và nữ

+ Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, các bạn nữ ngồi vị trí chẵn

Số cách xếp các bạn nam: 5!

Số cách xếp các bạn nữ: 5!

Do đó có 5! . 5! cách xếp.

+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ

Tương tự như trường hợp trên ta có 5! . 5! cách xếp.

Vậy có 2 . 5! . 5! = 28800 cách xếp.

Ví dụ 2: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên sao cho:

a) Số có 6 chữ số khác nhau

b) Số chẵn có 6 chữ số khác nhau

c) Số có 6 chữ số khác nhau có số 1 và 2 đứng cạnh nhau

Lời giải

a) Lập số có 6 chữ số từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5

Cách 1: Vị trí đầu tiên (chữ số đầu tiên khác 0): có 5 cách chọn

Các vị trí còn lại là hoán vị của 5 phần tử còn lại: 5!

Vậy có 5 . 5! = 600 số.

Cách 2: Lập số có 6 chữ số khác nhau (kể cả chữ số 0 đứng đầu) là hoán vị của 6: 6!

Lập số có 6 chữ số khác nhau nhưng có chữ số 0 đứng đầu là: 5!

Vậy số có 6 chữ số khác nhau là: 6! – 5! = 600 số.

b) Gọi số $\overline{abcdef}$ là số chẵn có 6 chữ số trong các số trên

Vì $\overline{abcdef}$ là số chẵn nên $f\in \left\{0;2;4\right\}$

+ Trường hợp 1: f = 0

Các số a, b, c, d, e là hoán vị của 5 chữ số còn lại: 5! = 120

+ Trường hợp 2: $f\in \left\{2;4\right\}$

Chọn f: có 2 cách chọn

Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5}\{f}: có 4 cách chọn

Chọn b, c, d, e là hoán vị của các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5}\{a; f}: có 4!

Do đó có 2 . 4 . 4! = 192 số.

Vậy có 120 + 192 = 312 số chẵn có 6 chữ số khác nhau.

c) Để lập được số có 6 chữ số khác nhau có số 1 và 2 đứng cạnh nhau.

Ta ghép 1 và 2 với nhau coi như 1 vị trí.

Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới

Vị trí đầu tiên có 4 cách chọn (chữ số 1 ghép với 2; 3; 4; 5)

Các vị trí còn lại là hoán vị của 4 chữ số: 4!

Ở vị trí chứa chữ số 1 và 2 có 2! cách xếp chúng.

Vậy có 4 . 4! . 2! = 192 số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau.