100 bài tập về cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa đạo hàm

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và $x_0\in \left(a;b\right)$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ khi $x\to x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x₀.

- Kí hiệu là f’(x₀) hay y’(x₀). Như vậy ta có: $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

- Nhận xét:

Nếu đặt $\Delta x=x-x_0$ và $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ thì ta có $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$.

Trong đó $\Delta x$ được gọi là số gia của biến số tại x₀

$\Delta y$ gọi là số gia của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ tại x₀.

b) Đạo hàm một bên

- Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là $f\text{'}\left(x_0^{-}\right)$ được định nghĩa là:

$f^{\text{'}}\left(x_0^{-}\right)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

trong đó $x\to x_0^{-}$ được hiểu là $x\to x_0^{}$ và x < x0.

- Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là $f\text{'}\left(x_0^{+}\right)$ được định nghĩa là:

$f^{\text{'}}\left(x_0^{+}\right)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

trong đó $x\to x_0^{+}$ được hiểu là $x\to x_0^{}$ và x > x₀.

- Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu $f\text{'}\left(x_0^{-}\right)$ và $f\text{'}\left(x_0^{+}\right)$ tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: $f\text{'}\left(x_0\right)=f\text{'}\left(x_0^{+}\right)=f\text{'}\left(x_0^{-}\right)$.

c) Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f’(b ^-) và đạo hàm phải f’(a⁺).

d) Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:

- Cách 1:

+ Bước 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số tại x0 ta tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

+ Bước 2: Tính giới hạn $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}$.

- Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x0 là $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

e) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x₀ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm số gia của hàm số

Phương pháp giải:

Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ tương ứng với số gia $\Delta x$ cho trước ta áp dụng công thức: $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2, biết rằng:

a) $x_0=1;\Delta x=1$.

b) $x_0=1;\Delta x=-0,1$.

Lời giải

a) Số gia của hàm số là:

$\Delta y=f\left(x_o+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$$=f\left(2\right)-f\left(1\right)$

$=2^3-{3.2}^2+2-(1^3-{3.1}^2+2)=-2$.

b) Số gia của hàm số là:

$\Delta y=f\left(x_o+\Delta x\right)-f\left(x_0\right) =f\left(0,9\right)-f\left(1\right)$

$=0,9^3-3.0,9^2+2-(1^3-{3.1}^2+2)=0,299$.

Ví dụ 2: Tìm số gia của hàm số:

a) y = 2x + 3.

b) y = 2x2 – 3x + 1 tại x0 = 1.

Lời giải

a) Số gia của hàm số là:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

$=2\left(x_0+\Delta x\right)+3-\left(2x_0+3\right)=2\Delta x$

b) Số gia của hàm số là:

$\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)$

$=2{\left(1+\Delta x\right)}^2-3\left(1+\Delta x\right)+1-\left({2.1}^2-3.1+1\right)$

$=2+4\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2-3-3\Delta x+1-0$

$=2{\left(\Delta x\right)}^2+\Delta x$.

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp giải:

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ theo định nghĩa, ta có 2 cách:

Cách 1:

- Bước 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số tại x0 ta tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

- Bước 2: Tính giới hạn $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}$.

Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x₀ là $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Chú ý: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn tại x₀ thì hàm số không có đạo hàm tại x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = 2x2 + x + 1 tại x₀ = 2.

b) $y=\sqrt{2x+1}$ tại x₀ = 1.

c) $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại x₀ = 3.

Lời giải

a) Cách 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀ = 2.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

$=2{\left(2+\Delta x\right)}^2+\left(2+\Delta x\right)+1-\left({2.2}^2+2+1\right)$

$=8+8\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2+2+\Delta x+1-11$

$9\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2$$=\Delta x\left(9+2\Delta x\right)$

Ta có $f\text{'}\left(2\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x\left(9+2\Delta x\right)}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(9+2\Delta x\right)=9$.

Cách 2: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2+x+1-11}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2+x-10}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(2x+5\right)}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x+5\right)=9$.

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại $x_0=2$ và $f\text{'}\left(2\right)=9$.

b) Cách 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀ = 1.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$$=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)$

$=\sqrt{2(1+\Delta x)+1}-\sqrt{3}$$=\frac{2\Delta x}{\sqrt{3+2\Delta x}+\sqrt{3}}$

Ta có $f\text{'}\left(1\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{3+2\Delta x}+\sqrt{3}\right)}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{3+2\Delta x}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Cách 2: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{3}}{x-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3}\right)}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x₀ = 1 và $f\text{'}\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

c) Cách 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀ = 3.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f\left(3+\Delta x\right)-f\left(3\right)$

$=\frac{2(3+\Delta x)-1}{3+\Delta x+1}-\frac{5}{4}$$=\frac{5+2\Delta x}{4+\Delta x}-\frac{5}{4}$$=\frac{3\Delta x}{4(4+\Delta x)}$

Ta có $f\text{'}\left(3\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3\Delta x}{\Delta x.4(4+\Delta x)}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3}{4(4+\Delta x)}=\frac{3}{16}$.

Cách 2: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\frac{2x-1}{x+1}-\frac{5}{4}}{x-3}$

$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3(x-3)}{(x-3)(x+1)4}$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3}{(x+1)4}=\frac{3}{16}$.

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x₀ = 3 và $f\text{'}\left(3\right)=\frac{3}{16}$.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = x³ tại x₀.

b) $y=\sqrt{x}$ tại x₀.

Lời giải

a) Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$$={\left(x_0+\Delta x\right)}^3-x_0^3$

$=x_0^3+3x_0^2.\Delta x+3x_0.{\left(\Delta x\right)}^2+{\left(\Delta x\right)}^3-x_0^3$

$=3x_0^2.\Delta x+3x_0.{\left(\Delta x\right)}^2+{\left(\Delta x\right)}^3$

Ta có: $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3x_0^2.\Delta x+3x_0.{\left(\Delta x\right)}^2+{\left(\Delta x\right)}^3}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(3x_0^2+3x_0.\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right)=3x_0^2$

Vậy đạo hàm của hàm số tại x₀ là $f\text{'}\left(x_0\right)=3x_0^2$

b) Với $\Delta x$ là số gia của đối số x₀.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=\sqrt{x_0+\Delta x}-\sqrt{x_0}$

Ta có: $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x_0+\Delta x}-\sqrt{x_0}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x_0+\Delta x-x_0}{\Delta x\left(\sqrt{x_0+\Delta x}+\sqrt{x_0}\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{x_0+\Delta x}+\sqrt{x_0}\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x_0+\Delta x}+\sqrt{x_0}}$$=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Dạng 3: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Phương pháp giải:

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀.

Chú ý: Nếu hàm số không liên tục tại x₀ thì không có đạo hàm tại x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại x = 0:

Lời giải

Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left|x\right|=0=f\left(0\right)$ nên hàm số f(x) = |x| liên tục tại x = 0.

Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|x\right|-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|x\right|-0}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1$

Nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}$ nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Số gia của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}$ứng với số gia $\Delta x$ của đối số x tại x₀ = – 1 là

A. $\frac{1}{2}{\left(\Delta x\right)}^2-\Delta x.$

B. $\frac{1}{2}\left[{\left(\Delta x\right)}^2-\Delta x\right].$

C. $\frac{1}{2}\left[{\left(\Delta x\right)}^2+\Delta x\right].$

D. $\frac{1}{2}{\left(\Delta x\right)}^2+\Delta x.$

Câu 2. Tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ của hàm số f(x) = 2x(x – 1) theo x và $\Delta x$là

A. $4x+2\Delta x+2.$

B. $4x+2{\left(\Delta x\right)}^2-2.$

C. $4x+2\Delta x-2.$

D. $4x\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2-2\Delta x.$

Câu 3. Số gia của hàm số f(x) = x³ ứng với x₀ = 2 và $\Delta x=1$ bằng bao nhiêu?

A. – 19.

B. 7.

C. 19.

D. –7.

Câu 4. Tính tỷ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ của hàm số $y=\frac{1}{x}$ theo x và $\Delta x.$

A. $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x\left(x+\Delta x\right)}.$

B. $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x\left(x+\Delta x\right)}.$

C. $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x+\Delta x}.$

D. $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x+\Delta x}.$

Câu 5. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 tại x₀ = 1

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại x⁰ = 1

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 6.

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = x³ + x – 2 tại x₀ = – 2 là

A. 13.

B. 12.

C. 10.

D. – 8.

Câu 8. Đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+x+1}$ tại điểm x₀ = 2

A.$\sqrt{2}$.

B.$\frac{5}{2\sqrt{7}}$.

C.$\frac{8}{\sqrt{3}}$.

D. $\sqrt{41}$.

Câu 9. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{2}{x+1}$ tại x₀ = 2 là

A. $\frac{1}{9}$.

B. $-\frac{2}{9}$.

C. $-\frac{1}{12}$.

D. $\frac{5}{2}$.

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{3x+1}{4-5x}$ tại x₀ = 1 là

A. 15.

B. – 15.

C. – 17.

D. 17.

Câu 11. Đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+\left|x+1\right|}{x}$ tại x₀ = – 1

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. Đáp án khác.

Câu 12. Đạo hàm của hàm số f(x) = x² – x tại điểm x₀ ứng với số gia $\Delta x$ là:

A. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+2x\Delta x-\Delta x\right).$

B. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x-1\right).$

C. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x+1\right).$

D. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+2x\Delta x+\Delta x\right).$

Câu 13. Cho hàm số $y=x^2+x+\frac{5}{x}$. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

Câu 14. Cho hàm số y = |2x – 3|. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục tại $x=\frac{3}{2}$, không có đạo hàm tại $x=\frac{3}{2}$.

B. Hàm số liên tục tại $x=\frac{3}{2}$, có đạo hàm tại $x=\frac{3}{2}$.

C. Hàm số không liên tục tại $x=\frac{3}{2}$, không có đạo hàm tại $x=\frac{3}{2}$.

D. Hàm số không liên tục tại $x=\frac{3}{2}$, có đạo hàm tại $x=\frac{3}{2}$.

Câu 15. Cho hàm số y = f(x) =x² - 2|x + 3|. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

Bảng đáp án