100 bài tập về phương pháp giải hàm số bậc 2 (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp giải hàm số bậc hai và các dạng bài tập hay nhất

1. Lý thuyết

Xét hàm số y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0):

+) Tập xác định: D=R𝐷=ℝ.

+) Đồ thị:

Đồ thị y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0) là 1 parabol (P) có:

- Đỉnh I(−b2a;−Δ4a)𝐼−𝑏2𝑎;−𝛥4𝑎 với Δ=b2−4ac𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐.

- Trục đối xứng:x=−b2a⋅𝑥=−𝑏2𝑎⋅

- Với a > 0 parabol có bề lõm quay lên trên.

- Với a < 0 parabol có bề lõm quay xuống dưới.

+) Sự biến thiên:

Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−b2a;+∞)−𝑏2𝑎;+∞ và nghịch biến trên khoảng (−∞;−b2a)−∞;−𝑏2𝑎. Ta có bảng biến thiên:

Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−b2a)−∞;−𝑏2𝑎 và nghịch biến trên khoảng (−b2a;+∞)−𝑏2𝑎;+∞. Ta có bảng biến thiên:

2. Các dạng bài tập

Dạng 3.1: Xác định hệ số a, b, c của hàm số bậc hai

a. Phương pháp giải:

* Giả sử hàm số cần tìm có dạng y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0). Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.

* Một số kiến thức cần nhớ:

- Một điểm (x0;y0)(𝑥0;𝑦0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi y0=f(x0)𝑦0=𝑓(𝑥0).

- Đồ thị hàm số có đỉnh là I(x1;y1)𝐼(𝑥1;𝑦1)

⇔⎧⎨⎩−b2a=x1y1=ax21+bx1+c(hayy1=−Δ4a)⇔−𝑏2𝑎=𝑥1𝑦1=𝑎x12+𝑏𝑥1+𝑐 (ℎ𝑎𝑦 𝑦1=−𝛥4𝑎)

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol (P). Tìm hàm số đó biết:

a. (P) đi qua A(8; 0) và có đỉnh I(6; -12)

b. (P) có đỉnh I(2; 0) và cắt trục Oy tại điểm M(0; -1).

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc hai cần tìm có dạng: y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0)

Do (P) có đỉnh I(6; -12) nên ta có: −b2a=6⇔12a+b=0−𝑏2𝑎=6⇔12𝑎+𝑏=0(1)

(P) đi qua A(8; 0) và I(6; -12) nên ta có:

{0=a.82+b.8+c−12=a.62+b.6+c⇔{64a+8b+c=036a+6b+c=−12 (2)0=𝑎.82+𝑏.8+𝑐−12=𝑎.62+𝑏.6+𝑐⇔64𝑎+8𝑏+𝑐=036𝑎+6𝑏+𝑐=−12 (2)

Từ (1) và (2) ta có :

⎧⎪⎨⎪⎩12a+b=036a+6b+c=−1264a+8b+c=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩a=3b=−36c=9612𝑎+𝑏=036𝑎+6𝑏+𝑐=−1264𝑎+8𝑏+𝑐=0⇔𝑎=3𝑏=−36𝑐=96

Vậy hàm số cần tìm là :y=3x2−36x+96𝑦=3𝑥2−36𝑥+96

b. Giả sử hàm số bậc hai cần tìm có dạng: y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0)

Theo bài ra, (P) có đỉnh I(2;0)𝐼2;0

⇒{−b2a=2−Δ4a=−b2−4ac4a=0⇔{b=−4ab2=4ac (1)⇒−𝑏2𝑎=2−𝛥4𝑎=−𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎=0⇔𝑏=−4𝑎𝑏2=4𝑎𝑐 (1)

Lại có (P) cắt Oy tại điểm M(0;−1)𝑀0;−1 suy ra y(0)=−1⇔c=−1𝑦0=−1⇔𝑐=−1 (2)

Từ (1), (2) suy ra:

⎧⎪⎨⎪⎩b=−4ab2=4acc=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩b=−4ab2=−4ac=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩b=−4ab2=bc=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩b=−4ab(b−1)=0c=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩a=−14b=1c=−1𝑏=−4𝑎𝑏2=4𝑎𝑐𝑐=−1⇔𝑏=−4𝑎𝑏2=−4𝑎𝑐=−1⇔𝑏=−4𝑎𝑏2=𝑏𝑐=−1⇔𝑏=−4𝑎𝑏(𝑏−1)=0𝑐=−1⇔𝑎=−14𝑏=1𝑐=−1

(vì với b=0⇒a=0𝑏=0⇒𝑎=0 loại)

Vậy hàm số cần tìm là :y=−14x2+x−1𝑦=−14𝑥2+𝑥−1.

Ví dụ 2: Xác định parabol (P):y=mx2+2mx+m2+2m(m≠0)𝑃:𝑦=𝑚𝑥2+2𝑚𝑥+𝑚2+2𝑚 (𝑚≠0) biết parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng y=x+7𝑦=𝑥+7.

Hướng dẫn:

Với m≠0𝑚≠0 thì (P):y=mx2+2mx+m2+2m𝑃:𝑦=𝑚𝑥2+2𝑚𝑥+𝑚2+2𝑚 có đỉnh là:

I(−b2a;−Δ4a)⇒I(−1;m2+m)𝐼−𝑏2𝑎;−𝛥4𝑎⇒𝐼−1;𝑚2+𝑚

Vì đỉnh nằm trên đường thẳng y=x+7𝑦=𝑥+7 nên ta có:

m2+m=−1+7⇔m2+m−6=0⇔[m=2m=−3𝑚2+𝑚=−1+7⇔𝑚2+𝑚−6=0⇔𝑚=2𝑚=−3

Vậy parabol cần tìm là: y=2x2+4x+8𝑦=2𝑥2+4𝑥+8 hoặc y=−3x2−6x+3𝑦=−3𝑥2−6𝑥+3.

Dạng 3.2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số bậc hai y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0)

* Sự biến thiên của hàm số:

- Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−b2a;+∞)−𝑏2𝑎;+∞ và nghịch biến trên khoảng (−∞;−b2a)−∞;−𝑏2𝑎. Ta có bảng biến thiên:

- Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−b2a)−∞;−𝑏2𝑎 và nghịch biến trên khoảng (−b2a;+∞)−𝑏2𝑎;+∞. Ta có bảng biến thiên:

* Cách vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I(−b2a;−Δ4a)𝐼−𝑏2𝑎;−𝛥4𝑎.

Bước 2: Vẽ trục đối xứng x=−b2a𝑥=−𝑏2𝑎. Đây là đường thẳng đi qua điểm (−b2a;0)−𝑏2𝑎;0 và song song với trục Oy.

Bước 3: Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị như: giao điểm với trục tung, trục hoành,…

Bước 4: Vẽ parabol.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=3x2−4x+1𝑦=3𝑥2−4𝑥+1

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y=3x2−4x+1𝑦=3𝑥2−4𝑥+1 có: a = 3; b = -4; c = 1; −b2a=23−𝑏2𝑎=23; Δ=b2−4ac=4𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=4;−Δ4a=−13−𝛥4𝑎=−13

+) Parabol có đỉnh I(23;−13)𝐼23;−13

+) Trục đối xứng: x=23𝑥=23

+) Giao điểm với trục Oy là C(0; 1)

+) Giao điểm với trục Ox là A(1; 0);B(13;0)𝐵13;0

+) Vì a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (23;+∞)23;+∞ và nghịch biến trên khoảng (−∞;23)−∞;23.Ta có bảng biến thiên:

+) Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=−x2+4x−3𝑦=−𝑥2+4𝑥−3

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y=−x2+4x−3𝑦=−𝑥2+4𝑥−3 có: a = -1; b = 4; c = -3;−b2a=2−𝑏2𝑎=2 ; Δ=b2−4ac=4𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=4;−Δ4a=1−𝛥4𝑎=1

+) Parabol có đỉnh

+) Trục đối xứng: x = 2

+) Giao điểm với trục Oy là C(0; -3)

+) Giao điểm với trục Ox là A(1; 0); B(3; 0)

+) Vì a = -1 < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2)−∞;2 và nghịch biến trên khoảng (2;+∞)2;+∞

Ta có bảng biến thiên:

+) Vẽ đồ thị:

Dạng 3.3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

a. Phương pháp giải:

Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y = g(x). Ta xét phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1).

-Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

-Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y = f(x) hoặc y = g(x).

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P):y=x2−3x+2(𝑃):𝑦=𝑥2−3𝑥+2 và đường thẳng d: y=x−1𝑦=𝑥−1

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là :

x2−3x+2=x−1⇔x2−4x+3=0⇔[x=1x=3𝑥2−3𝑥+2=𝑥−1⇔𝑥2−4𝑥+3=0⇔𝑥=1𝑥=3

Với x=1⇒y=x−1=1−1=0𝑥=1⇒𝑦=𝑥−1=1−1=0

Với x=3⇒y=x−1=3−1=2𝑥=3⇒𝑦=𝑥−1=3−1=2

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: (1; 0); (3; 2).

Ví dụ 2: Cho hai parabol có phương trình y=x2+x+1𝑦=𝑥2+𝑥+1 và y=2x2−x−2𝑦=2𝑥2−𝑥−2. Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B (xA<xB𝑥𝐴<𝑥𝐵). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:

2x2−x−2=x2+x+1⇔x2−2x−3=0⇔[x=−1x=32𝑥2−𝑥−2=𝑥2+𝑥+1⇔𝑥2−2𝑥−3=0⇔𝑥=−1𝑥=3

Thay x = -1 và x = 3 vào y=x2+x+1𝑦=𝑥2+𝑥+1 ta được:

x=−1⇒y=1𝑥=−1⇒𝑦=1

x=3⇒y=13𝑥=3⇒𝑦=13

Do đó hai giao điểm của hai parabol là A(−1;1)𝐴−1;1 và B(3;13)𝐵3;13.

Từ đó

AB=√(3+1)2+(13−1)2=4√10𝐴𝐵=3+12+13−12=410

Dạng 3.4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x)=ax2+bx+c(a≠0)𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎≠0) có đồ thị là parabol.

* Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b], ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol và dấu của hệ số a.

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số và xác định đoạn [a; b] trên bảng biến thiên

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để đưa ra kết luận.

* Trong trường hợp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên , ta có:

+) Với a < 0, hàm số chỉ có giá trị lớn nhất bằng f(−b2a)=−Δ4a𝑓−𝑏2𝑎=−𝛥4𝑎 và không tồn tại giá trị nhỏ nhất

+) Với a > 0, hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất bằng f(−b2a)=−Δ4a𝑓−𝑏2𝑎=−𝛥4𝑎 và không tồn tại giá trị lớn nhất

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a.f(x)=2x2+x−3𝑓(𝑥)=2𝑥2+𝑥−3

b. f(x)=−3x2+x+2𝑓(𝑥)=−3𝑥2+𝑥+2

Hướng dẫn:

a. Xét hàm số f(x)=2x2+x−3𝑓(𝑥)=2𝑥2+𝑥−3 có a = 2; b = 1; c = -3.

Do a = 2 > 0 nên hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất.

Suy ra:

minf(x)=f(−b2a)=f(−14)=−258min 𝑓(𝑥)=𝑓−𝑏2𝑎=𝑓−14=−258

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là −258−258 tại x=−14𝑥=−14.

b. Xét hàm số f(x)=−3x2+x+2𝑓(𝑥)=−3𝑥2+𝑥+2 có a = -3; b = 1; c = 2.

Do a = -3 < 0 nên hàm số chỉ có giá trị lớn nhất.

Suy ra :

maxf(x)=f(−b2a)=f(16)=2512max 𝑓(𝑥)=𝑓−𝑏2𝑎=𝑓16=2512

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là 25122512 tại x=16𝑥=16.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=5x2+2x+1𝑦=5𝑥2+2𝑥+1 trên đoạn [−2;2]−2;2

Hướng dẫn:

Xét hàm số y=5x2+2x+1𝑦=5𝑥2+2𝑥+1 có a = 5 > 0; b = 2; c = 1;−b2a=−15−𝑏2𝑎=−15 ;−Δ4a=−b2−4ac4a=45−𝛥4𝑎=−𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎=45 .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2;2]−2;2 là 4545.

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=x2−4x+3𝑦=𝑥2−4𝑥+3.

Hướng dẫn:

Hàm số y=x2−4x+3𝑦=𝑥2−4𝑥+3 có a=1>0𝑎=1>0nên đồng biến trên khoảng ,(−b2a;+∞)−𝑏2𝑎;+∞ nghịch biến trên khoảng (−∞;−b2a)−∞;−𝑏2𝑎.

Vì vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞)2;+∞ và nghịch biến trên (−∞;2)−∞;2.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=x2−2(m+1)x−3𝑦=𝑥2−2𝑚+1𝑥−3 đồng biến trên khoảng (4;2018)4;2018?

Hướng dẫn:

Hàm số có a = 1 > 0, −b2a=m+1−𝑏2𝑎=𝑚+1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (m+1;+∞)𝑚+1;+∞.

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng (4;2018)4;2018 thì ta phải có

(4;2018)⊂(m+1;+∞)⇔m+1≤4⇔m≤34;2018⊂𝑚+1;+∞⇔𝑚+1≤4⇔𝑚≤3

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1; 2; 3.

Câu 3: Xác định các hệ số a và b để parabol (P):y=ax2+4x−b𝑃:𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥−𝑏 có đỉnh I(−1;−5)𝐼−1;−5.

Hướng dẫn:

Ta có đỉnh I(-1; -5)⇒−42a=−1⇒a=2.⇒−42𝑎=−1⇒𝑎=2.

Hơn nữa I∈(P)𝐼∈𝑃 nên −5=a−4−b⇒b=3.−5=𝑎−4−𝑏⇒𝑏=3.

Câu 4: Biết đồ thị hàm số y=ax2+bx+c(a≠0)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑎≠0 đi qua điểm A(2;1)𝐴2;1 và có đỉnh I(1;−1)𝐼1 ; −1. Tính giá trị biểu thức T=a3+b2−2c𝑇=𝑎3+𝑏2−2𝑐.

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c𝑦=ax2+𝑏𝑥+𝑐 đi qua điểm A(2;1)𝐴2;1 và có đỉnh I(1;−1)𝐼1 ; −1 nên ta có hệ phương trình:

⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩4a+2b+c=1−b2a=1a+b+c=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩4a+2b+c=1b=−2aa+b+c=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩c=1b=−2a−a+c=−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩c=1b=−4a=24𝑎+2𝑏+𝑐=1−𝑏2𝑎=1𝑎+𝑏+𝑐=−1⇔4𝑎+2𝑏+𝑐=1𝑏=−2𝑎𝑎+𝑏+𝑐=−1⇔𝑐=1𝑏=−2𝑎−𝑎+𝑐=−1⇔𝑐=1𝑏=−4𝑎=2

Vậy T=a3+b2−2c=22𝑇=𝑎3+𝑏2−2𝑐=22

Câu 5: Xác định hàm số y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 biết hàm số có đồ thị là một parabol như hình sau :

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; -1) nên c=−1𝑐=−1.

Tọa độ đỉnh là I(1; -3) nên ta có phương trình:

{−b2a=1a.12+b.1−1=−3⇔{2a+b=0a+b=−2⇔{a=2b=−4−𝑏2𝑎=1𝑎.12+𝑏.1−1=−3⇔2𝑎+𝑏=0𝑎+𝑏=−2⇔𝑎=2𝑏=−4

Vậy hàm số cần tìm là: y=2x2−4x−1𝑦=2𝑥2−4𝑥−1

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Hướng dẫn:

Hàm số bậc hai y=2x2−4x−1𝑦=2𝑥2−4𝑥−1 có a = 1 > 0

Suy ra:

minf(x)=f(−−42.1)=f(2)=−3min 𝑓(𝑥)=𝑓−−42.1=𝑓(2)=−3

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là -3 tại x = 2.

Câu 7: Tìm tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=x2−4x+3𝑦=𝑥2−4𝑥+3 trên đoạn [−1;4]−1;4

Hướng dẫn:

Ta có: −b2a=2∈[-1;4]−𝑏2𝑎=2∈[-1;4]; a = 1 > 0

Xét trên đoạn [−1;4]−1;4 thì hàm số có bảng biến thiên là:

Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 8+(-1) = 7.

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2+2mx+5𝑦=𝑥2+2𝑚𝑥+5bằng khi giá trị của tham số m bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Hàm số y=x2+2mx+5𝑦=𝑥2+2𝑚𝑥+5 có a=1>0𝑎=1>0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi x=−b2a𝑥=−𝑏2𝑎.

Theo đề bài ta có:

y(−b2a)=1⇔y(−m)=1⇔m2−2m2+5=1⇔m2=4⇔m=±2𝑦−𝑏2𝑎=1⇔𝑦−𝑚=1⇔𝑚2−2𝑚2+5=1⇔𝑚2=4⇔𝑚=±2

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P):y=x2−4x𝑃 : 𝑦=𝑥2−4𝑥 với đường thẳng d:y=−x−2𝑑 : 𝑦=−𝑥−2

Hướng dẫn:

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:

x2−4x=−x−2⇔x2−3x+2=0⇔[x=1x=2𝑥2−4𝑥=−𝑥−2 ⇔ 𝑥2−3𝑥+2=0 ⇔ 𝑥=1𝑥=2

Với x = 1 suy ra y = -3

Với x = 2 suy ra y = -4

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và d là M(1;−3)𝑀1; −3, N(2;−4)𝑁2; −4.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để đường thẳng d:y=mx−3𝑦=𝑚𝑥−3 không có điểm chung với parabol (P): y=x2+1𝑦=𝑥2+1?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

x2+1=mx−3𝑥2+1=𝑚𝑥−3

⇔x2−mx+4=0⇔𝑥2−𝑚𝑥+4=0(*)

Đường thẳng y=mx−3𝑦=𝑚𝑥−3 không có điểm chung với parabol y=x2+1𝑦=𝑥2+1

Phương trình (*) vô nghiệm:

⇔Δ<0⇔m2−16<0⇔−4<m<4⇔𝛥<0⇔𝑚2−16<0⇔−4<𝑚<4

Vì m∈Z𝑚∈ℤ

⇒m∈{−3;−2;−1;0;1;2;3}⇒𝑚∈−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3

b. Trắc nghiệm:

Câu 1: Hàm số y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,(a>0)(𝑎>0) đồng biến trong khoảng nào sau đây?

A. (−∞;−b2a).−∞; −𝑏2𝑎.

B. (−b2a;+∞).−𝑏2𝑎; +∞.

C. (−Δ4a;+∞).−𝛥4𝑎; +∞.

D. (−∞;−Δ4a).−∞; −𝛥4𝑎.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−b2a;+∞)−𝑏2𝑎;+∞ và nghịch biến trên khoảng (−∞;−b2a)−∞;−𝑏2𝑎.

Câu 2: Cho hàm số y=−x2+6x−1𝑦=−𝑥2+6𝑥−1. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.(−∞;3)−∞;3

B.(−∞;6)−∞;6

C.(3;+∞)3;+∞

D.(6;+∞)6;+∞

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có a = -1 <0,−b2a=−62.(−1)=3−𝑏2𝑎=−62.−1=3 . Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞)3;+∞.

Câu 3: Cho parabol (P):y=3x2−2x+1𝑃:𝑦=3𝑥2−2𝑥+1. Điểm nào sau đây là đỉnh của ?

A. I(0;1)𝐼0;1

B. I(13;23)𝐼13; 23

C. I(−13;23)𝐼−13; 23

D. I(13;−23)𝐼13; −23

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hoành độ đỉnh của (P):y=3x2−2x+1𝑃:𝑦=3𝑥2−2𝑥+1 là x=−b2a=13𝑥=−𝑏2𝑎=13. Suy ra tung độ đỉnh của (P) là: y=3(13)2−2.13+1=23𝑦=3132−2.13+1=23

Vậy I(13;23)𝐼13; 23

Câu 4: Cho parabol (P):y=x2+mx+n𝑃: 𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛 (m; n tham số). Xác định m; n để (P) nhận I(2;−1)𝐼2; −1 là đỉnh.

A. m = 4; n = -3

B. m = 4; n = 3

C. m = -4; n = -3

D. m = -4; n = 3

Hướng dẫn:

Chọn D.

Parabol (P):y=x2+mx+n𝑃: 𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛 nhận I(2;−1)𝐼2; −1 là đỉnh, khi đó ta có

{4+2m+n=−1−m2=2⇔{2m+n=−5m=−4⇔{n=3m=−44+2𝑚+𝑛=−1−𝑚2=2⇔2𝑚+𝑛=−5𝑚=−4⇔𝑛=3𝑚=−4

Vậy m=−4,n=3𝑚=−4, 𝑛=3.

Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số y=−2x2+4x+1𝑦=−2𝑥2+4𝑥+1 là bảng nào sau đây?

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hàm số y=−2x2+4x+1𝑦=−2𝑥2+4𝑥+1 có đỉnh I(1;3)𝐼1;3, hệ số a=−2<0𝑎=−2<0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1)−∞;1, nghịch biến trên khoảng (1;+∞)1;+∞.

Câu 6: Cho parabol y=ax2+bx+c𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a < 0; b > 0; c < 0.

B. a < 0; b < 0; c < 0.

C. a < 0; b > 0; c > 0.

D. a < 0; b < 0; c > 0.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Parabol quay bề lõm xuống dưới ⇒a<0⇒𝑎<0.

Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương ⇒c>0⇒𝑐>0.

Đỉnh của parabol có hoành độ dương ⇒−b2a>0⇒ba<0⇒−𝑏2𝑎>0⇒𝑏𝑎<0 mà a<0𝑎<0 nên suy ra b>0𝑏>0.

Câu 7: Cho parabol (P):y=ax2+bx+c,(a≠0)𝑃:𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑎≠0 có đồ thị như hình dưới đây. Khi đó 2a+b+2c2𝑎+𝑏+2𝑐có giá trị là:

A. -9.

B. 9.

C. -6.

D. 6.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Parabol (P):y=ax2+bx+c,(a≠0)𝑃:𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑎≠0 đi qua các điểm A(−1; 0)𝐴−1; 0, B(1; −4)𝐵1; −4, C(3; 0)𝐶3; 0 nên có hệ phương trình:

⎧⎪⎨⎪⎩a−b+c=0a+b+c=−49a+3b+c=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩a=1b=−2c=−3𝑎−𝑏+𝑐=0𝑎+𝑏+𝑐=−49𝑎+3𝑏+𝑐=0⇔𝑎=1𝑏=−2𝑐=−3

Khi đó:

2a+b+2c=2.1−2+2(−3)=−62𝑎+𝑏+2𝑐=2.1−2+2−3=−6

Câu 8: Tìm m để hàm số y=x2−2x+2m+3𝑦=𝑥2−2𝑥+2𝑚+3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;5]2;5 bằng -3.

A. m = 0.

B. m = -9.

C.m = 1.

D. m = -3.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Ta có hàm số y=x2−2x+2m+3𝑦=𝑥2−2𝑥+2𝑚+3 có hệ số a=1>0,b=−2𝑎=1>0,𝑏=−2, trục đối xứng là đường thẳng x=−b2a=1𝑥=−𝑏2𝑎=1 nên có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn [2;5]2;5 suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;5]2;5 bằng f(2)𝑓2. Theo giả thiết :

f(2)=−3⇔2m+3=−3⇔m=−3𝑓2=−3⇔2𝑚+3=−3⇔𝑚=−3

Câu 9: Tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y=−x+3𝑦=−𝑥+3 và parabol (P): y=−x2−4x+1𝑦=−𝑥2−4𝑥+1 là:

A. (−1;4), (−2;5)−1;4, −2;5

B.(2;0), (−2;0)2;0, −2;0

C.(1;−12), (−15;1150)1;−12, −15;1150

D. (13;−1)13;−1

Hướng dẫn:

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là:

−x2−4x+1=−x+3⇔x2+3x+2=0⇔[x=−1⇒y=4x=−2⇒y=5−𝑥2−4𝑥+1=−𝑥+3⇔𝑥2+3𝑥+2=0⇔𝑥=−1⇒𝑦=4𝑥=−2⇒𝑦=5

Vậy giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d có tọa độ (−1;4)−1;4 và (−2;5)−2;5.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng y=mx+3−2m𝑦=𝑚𝑥+3−2𝑚 cắt parabol y=x2−3x−5𝑦=𝑥2−3𝑥−5 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

A.m<−3𝑚<−3

B. −3<m<4−3<𝑚<4

C. m<4𝑚<4

D.m≤4𝑚≤4

Hướng dẫn:

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=mx+3−2m𝑦=𝑚𝑥+3−2𝑚 và parabol y=x2−3x−5𝑦=𝑥2−3𝑥−5 là:

x2−3x−5=mx+3−2m𝑥2−3𝑥−5=𝑚𝑥+3−2𝑚

x2−(m+3)x+2m−8=0𝑥2−𝑚+3𝑥+2𝑚−8=0  (*).

Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔a.c<0⇔𝑎.𝑐<0 (theo định lý Vi-et)

2m−8<0⇔m<4