100 công thức về cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx hay nhất (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán
Công thức và cách giải các dạng toán về cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx. Mời các bạn đón xem
Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx
1. Lý thuyết
y = asinx + bcosx =√a2+b2(a√a2+b2sinx+b√a2+b2cosx)
(Điều kiện: a2+b2≠0)
Đặt cosα=a√a2+b2;sinα=b√a2+b2
Khi đó: y=√a2+b2.(sinxcosα+cosxsinα)
⇔y=√a2+b2.sin(x+α)
Công thức đặc biệt:
2. Công thức
a) Giải phương trình asinx + bcosx = c. Phương trình có nghiệm khi a2+b2≥c2.
Ta có: a√a2+b2sinx+b√a2+b2cosx=c√a2+b2
⇒sin(x+α)=c√a2+b2 với cosα=a√a2+b2;sinα=b√a2+b2
(Bấm máy tính để tìm góc α).
Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải.
b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c
Ta có: −√a2+b2+c≤y≤√a2+b2+c
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là −√a2+b2+c và giá trị lớn nhất là √a2+b2+c.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a) sin2x+√3cos2x=√2
b) cosx – sinx = 1
Lời giải
a) sin2x+√3cos2x=√2
⇔12sin2x+√32cos2x=√22⇔sin2xcosπ3+cos2xsinπ3=√22⇔sin(2x+π3)=√22⇔[2x+π3=π4+k2π2x+π3=3π4+k2π⇔[2x=−π12+k2π2x=5π12+k2π⇔[x=−π24+kπx=5π24+kπ(k∈ℤ)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=−π24+kπ;x=5π24+kπ;k∈ℤ.
b) cosx – sinx = 1
⇔√2cos(x+π4)=1 (Áp dụng công thức)
⇔cos(x+π4)=1√2⇔[x+π4=π4+k2πx+π4=−π4+k2π⇔[x=k2πx=−π2+k2π(k∈ℤ)
Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=k2π;x=−π2+k2π;k∈ℤ.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau: y=√3sin5x+cos5x+1
Lời giải
Cách 1: Áp dụng công thức ta có:
−√(√3)2+12+1≤y≤√(√3)2+12+1⇔−1≤y≤3
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có: y=√3sin5x+cos5x+1
⇔y=2(√32sin5x+12cos5x)+1⇔y=2(sin5xcosπ6+cos5xsinπ6)+1⇔y=2sin(5x+π6)+1
Ta có −1≤sin(5x+π6)≤1∀x∈ℝ
⇔−2≤2sin(5x+π6)≤2∀x∈ℝ⇔−1≤2sin(5x+π6)+1≤3∀x∈ℝ⇔−1≤y≤3
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 3sinx + cosx = 3
B. √3sinx−cosx=−3
C. √3sin2x−cos2x=2
D. 3sinx – 4cosx = 5
Câu 2. Phương trình sinx+√3cosx=2 có tập nghiệm là:
A. 5π6+kπ;k∈ℤ.
B. 5π6+k2π;k∈ℤ.
C. π6+k2π;k∈ℤ.
D. −π6+kπ;k∈ℤ.
Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=sin3x−cos3x+3 lần lượt là
A. √2+3 và -√2-3
B. √2+3 và -√2+3
C. √2-3 và -√2-3
D. √2-3 và -√2+3
Đáp án: 1 – B, 2 – C, 3 – B