100 công thức về phép tịnh tiến (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

1. Lí thuyết

Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}.$

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ thường được kí hiệu là $T_{\overrightarrow{v}}$, $\overrightarrow{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy, $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}.$

Phép tịnh tiến theo vectơ – không được gọi là phép đồng nhất. (Biến mỗi điểm thành chính nó)

* Tính chất

- Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vecto thành 1 vectơ bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$. Với mỗi điểm M(x;y) ta có M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}.$ Khi đó $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right..$

(Tọa độ ảnh = tọa độ điểm + tọa độ vectơ tịnh tiến)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}=(1;-5)$, điểm A(2; 2), đường thẳng d: 3x + 4y - 4 = 0, đường tròn: (C): x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0. Xác định:

a) Điểm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

b) Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

c) Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

Lời giải

a) Ta có A’ là ảnh của A qua $T_{\overrightarrow{v}}$. Tọa độ A’: $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=x_A+1=3\\ y_{A\text{'}}=y_A-5=-3\end{array}\right.$. Vậy A’(3; -3).

b) Lấy điểm M(0; 1) thuộc d

Gọi M’ là ảnh của M qua $T_{\overrightarrow{\text{v}}}$, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_{M\text{'}}=x_M+1=1\\ y_{M\text{'}}=y_M-5=-4\end{array}\right.$. Vậy M’(1;-4) .

Vì d’ là ảnh của d qua $T_{\overrightarrow{v}}$ nên d’ song song hoặc trùng với d. Suy ra VTPT $\overrightarrow{n_{d\text{'}}}=\overrightarrow{n_d}=\left(3;4\right)$.

Vậy phương trình d’: 3(x – 1) + 4(y + 4) = 0. Hay d’: 3x + 4y + 13 = 0.

c) Cách 1: (Tịnh tiến tâm I và giữ nguyên bán kính)

Phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0

Có tâm I (1; -2) và bán kính $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2-\left(-1\right)}=\sqrt{6}$

Gọi I’ là ảnh của I qua $T_{\overrightarrow{v}}$. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}=x_I+1=1+1=2\\ y_{I\text{'}}=y_I-5=-2-5=-7\end{array}\right.$.

Vậy I’(1; -7)

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua , nên (C’) có tâm I’ và bán kính .

Vậy phương trình (C’): (x-2)² + (y+7)² = 6 hay x² + y² – 4x + 7y + 47 = 0.

Cách 2: (Tịnh tiến mọi điểm trên đường tròn)

Với mọi điểm B(x;y) bất kì $\in$ (C). Gọi B’(x’;y’) là ảnh của B qua phép tịnh tiến.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+1\\ y\text{'}=y-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}-1\\ y=y\text{'}+5\end{array}\right.$

Vì $B\left(x;y\right)\in \left(C\right)$ nên thay vào phương trình (C):

(x’- 1)² + (y’ + 5)² – 2(x’ - 1) + 4(y’+ 5) – 1 = 0

Suy ra x’² + y’² – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

B’(x’;y’)  ảnh của B qua phép $T_{\overrightarrow{v}}$ nên B’ di động trên đường tròn (C’): x’² + y’² – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C’): x’² + y’² – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P): y = x² và (Q): y = x²+ 2x + 2. Tìm phép tịnh tiến T  biến (Q) thành (P).

Lời giải

Gọi vectơ tịnh tiến là $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$. Gọi ảnh của (Q) qua phép $T_{\overrightarrow{v}}$ là parabol (R)

Lấy điểm $M\left(x ;y\right)\in \left(Q\right)$. Gọi $M’\left(x’;y’\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)$, khi đó $M\text{'}\in \left(R\right)$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}-a\\ y=y\text{'}-b\end{array}\right.$

Vì , thay vào phương trình (Q):  y’ – b = (x’ – a)² + 2(x’– a) + 2

$\iff y\text{'}={\left(x\text{'}\right)}^2\text{+ }2\left(1–a\right)x\text{'}+a^2–2a+b+2$

Vậy phương trình (R): y = x² + 2(1 – a)x + a² – 2a + b + 2

Để (R) trùng với (P) thì $\left\{\begin{array}{l}2(1-a)=0\\ a^2-2a+b+2=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ 1^2-2.1+b+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol (Q) thành parabol (P), theo vectơ $\overrightarrow{v}\left(-1;1\right)$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(0; 1). Ảnh của  điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;2\right)$ là điểm nào?

A. M'(2; 3)

B. M'(1; 3)

C. M'(1; 1)

D. M'(-1; -1)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$ có phương trình là:

A. x + 2y + 2 = 0

B. x – 2y + 6 = 0          

C. 2x – y + 2 = 0

D. 2x + y +2 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;1\right)$ là đường tròn có phương trình:

A. (x – 2)² + (y + 1)² = 16

B. (x + 2)² + (y – 1)² = 9

C. (x – 2)² + (y + 1)² = 9 

D. (x + 2)² + (y + 1)² = 9

Đáp án: 1B, 2B, 3C