100 công thức về số hạng tổng quát của cấp số nhân (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân 

1. Lý thuyết

- Dãy số (un) là một cấp số nhân khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội.

- Công thức số hạng tổng quát: un = u1 . qn - 1 với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

2. Công thức

- Công thức số hạng tổng quát: un = u1.qn - 1 với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

- Do đó để tìm được số hạng tổng quát, ta cần tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u2 = –6.

a) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

b) Tính số hạng thứ 300 của cấp số nhân.

c) Số 118098 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có: $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-6}{2}=-3$

Số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1.qn – 1 = 2.(–3)n-1

b) Số hạng thứ 300 của cấp số nhân: u300 = 2.( –3)300-1 = – 2.3299.

c) Gọi số hạng thứ k là số 118098, ta có uk = u1.qk-1 = 118098

$$\begin{gathered} \iff 2.{\left(-3\right)}^{k-1}=118098 \\ \iff {\left(-3\right)}^{k-1}=59049={\left(-3\right)}^{10} \\ \iff k=11 \end{gathered}$$

Vậy số 118098 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) với $u_2=\frac{1}{4};u_5=16$.

a) Tìm u­1 và công bội d.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân.

c) Tính số hạng thứ 250 của cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_2=\frac{1}{4}\\ u_5=16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_{1}q=\frac{1}{4}\\ u_1{q}^4=16\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{q}^3=64=4^3\\ u_{1}q=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}q=4\\ u_1=\frac{1}{16}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $u_1=\frac{1}{16};q=4$.

b) Số hạng tổng quát: $u_n=u_1{q}^{n-1}=\frac{1}{16}{.4}^{n-1}=4^{n-3}$.

c) Số hạng thứ 250 của cấp số nhân:

u250 = 4250 - 3 = 4247