100 bài tập về cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán
Cách giải các dạng toán về cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp và cách giải các dạng toán gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp. Mời các bạn đón xem:
Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp chi tiết nhất
1. Lý thuyết
- Hoán vị của n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.
- Chỉnh hợp chập k của n (0≤k≤n): Akn=n!(n−k)!
- Tổ hợp chập của n (0≤k≤n): Ckn=n!(n−k)!k!=Aknk!
- Tính chất của tổ hợp:
Ckn=Cn−kn,(0≤k≤n)Ck+1n+1=Ckn+Ck+1n,(1≤k≤n)
2. Phương pháp giải
Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa về các phương trình, bất phương trình đã học và giải quyết.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
a) 2A2x=Cx−1x+23x
b) 3A2n−A22n+42=0
c) Cx−2x+1+2C3x−1=7(x−1)
Lời giải
a) 2A2x=Cx−1x+23x
Điều kiện: {x≥2x∈ℕ
Phương trình trên tương đương với:
2x!(x−2)!=x!(x−1)! . 1!+23x
⇔2x(x−1)=x+23x⇔2x2−2x−24x=0⇔2x2−26x=0⇔x2−13x=0⇔[x=0 (Loại)x=13
Vậy nghiệm của phương trình là x = 13.
b) 3.A2n−A22n+42=0
Điều kiện: {n≥2n∈ℕ
Phương trình trên tương đương với
3n!(n−2)!−(2n)!(2n−2)!+42=0⇔3n(n−1)−2n(2n−1)+42=0⇔3n2−3n−4n2+2n+42=0⇔−n2−n+42=0⇔−(n+7)(n−6)=0⇔[n=6n=−7 (Loại)
Vậy nghiệm của phương trình là: n = 6.
c) Cx−2x+1+2C3x−1=7(x−1)
Điều kiện: {x−1≥3x∈ℕ⇔{x≥4x∈ℕ
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
a) A3n+15<15n
b) A3n<A2n+12
Lời giải
a) Điều kiện: n≥3,n∈ℕ
Ta có: A3n+15<15n
⇔n!(n−3)!+15−15n<0⇔n(n−1)(n−2)−15(n−1)<0⇔(n−1)(n2−2n−15)<0⇔(n−1)(n+3)(n−5)<0
Vì nên n – 1 > 0 và n + 3 > 0
Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 và n = 4 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3; n = 4.
b) Điều kiện: n≥3,n∈N.
A3n<A2n+12⇔n!(n−3)!<n!(n−2)!+12⇔n(n−1)(n−2)<n(n−1)+12⇔n3−3n2+2n<n2−n+12⇔n3−4n2+3n−12<0⇔(n−4)(n2+3)<0⇔n<4
Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3.
Ví dụ 3. Một đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Lời giải
Gọi số đỉnh của đa giác là n. Điều kiện: n∈ℕ và n>3.
Vậy số cạnh của đa giác cũng là n.
Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh trên là C2n đoạn thẳng
Do đó số đường chéo của đa giác là C2n-n.
Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có:
C2n−n=2n⇔n!2! . (n−2)!=3n⇔n(n−1)2=3n⇔n2−n=6n⇔n2−7n=0⇔[n=0 (Loại)n=7
Vậy đa giác có 7 cạnh.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Nghiệm của phương trình: C3n=10 là
A. 6
B. 5
C. 3
D. 4
Câu 2. Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình A2x−A1x=3 là
A.{-1}
B. {3}
C.{-1;3}
D.{1}
Câu 3. Nghiệm của phương trình A3x+Cx−2x=14x là
A. Một số khác
B. x = 6
C. x = 5
D. x = 4
Câu 4. Tìm tập nghiệm của phương trình C2x+C3x= 4x.
A.{0}
B.{-5; 5}
C.{5}
D.{-5; 0; 5}
Câu 5. Cho số tự nhiên n thỏa mãn C2n+A2n=9n. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. n chia hết cho 7
B. n chia hết cho 5
C. n chia hết cho 2
D. n chia hết cho 3
Câu 6. Nghiệm của phương trình A10x+A9x=9A8x là
A. x = 5
B. x = 11
C. x = 11; x = 5
D. x = 10; x = 2
Câu 7. Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 1C1n−1C2n+1=76C1n+4 là
A. 13
B. 11
C. 10
D. 12
Câu 8. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn A2n−3C2n=15−5n
A. 13
B. 10
C. 12
D. 11
Câu 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A2n=C2n+C1n+4n+6. Hệ số của số hạng chứa x9 của khai triển biểu thức P(x)=(x2+3x)n bằng
A. 18564
B. 64152
C. 192456
D. 194265
Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn của (n2x+x2)2n(x≠0), biết số nguyên dương n thỏa mãn C3n+A2n=50.
A. 2951
B. 297512
C. 9712
D. 279215
Câu 11. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) C2n+1C2n≥310n là
A. 0≤n≤2
B. 1≤n≤5
C. 2≤n≤5
D. 2≤n<4
Câu 12. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) A3n+1+Cn−1n+1<14(n+1) là
A. 2≤n≤5
B. 0≤n≤2
C. 1≤n≤5
D. 2≤n<4
Câu 13. Nghiệm của phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn−1n+2+Cnn+2>52A2n là
A. n≥2
B. n≥3
C. n≥5
D. n≥4
Câu 14. Nghiệm bất phương trình sau: 12A22x−A2x≤6xC3x+10 là
A. x = 3; x = 4
B. x = 3
C. x = 2; x = 3; x = 4
D. x = 4
Câu 15. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1, cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên. Giá trị của n là
A. 10
B. 7
C. 8
D. 9
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
B |
B |
C |
C |
A |
B |
B |
D |
C |
B |
C |
D |
A |
A |
B |