100 công thức về giải phương trình bậc hai (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp giải phương trình bậc hai đầy đủ, chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Phương trình bậc hai có dạng ax2+bx+c=0ax2+𝑏𝑥+𝑐=0 (a≠0𝑎≠0)

- Cách giải và biện luận phương trình bậc hai:

+ Với Δ=b2−4ac𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐

Nếu Δ>0𝛥>0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+√Δ2a𝑥1=−𝑏+𝛥2𝑎,x2=−b−√Δ2a𝑥2=−𝑏−𝛥2𝑎

Nếu Δ=0𝛥=0 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1=x2=−b2a𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎

Nếu Δ<0𝛥<0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

+ Với Δ'=b'2−ac𝛥'=𝑏'2−𝑎𝑐 với b'=b2𝑏'=𝑏2

Nếu Δ'>0𝛥'>0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b'+√Δ'a𝑥1=−𝑏'+𝛥'𝑎,x2=−b'−√Δ'a𝑥2=−𝑏'−𝛥'𝑎

Nếu Δ'=0𝛥'=0 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép:x1=x2=−b'a𝑥1=𝑥2=−𝑏'𝑎

Nếu Δ'<0𝛥'<0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

- Đối với các phương trình quy về phương trình bậc hai ta có thể dùng các phép biến đổi như nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế, lấy nhân tử chung … để đưa phương trình đã cho về dạng ax2+bx+c=0ax2+𝑏𝑥+𝑐=0 (a≠0𝑎≠0).

II. Các công thức

- Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2+bx+c=0ax2+𝑏𝑥+𝑐=0 (a≠0𝑎≠0):

+ Với Δ=b2−4ac𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐

Δ>0⇒ax2+bx+c=0⇔⎡⎢⎣x1=−b+√Δ2ax2=−b−√Δ2aΔ=0⇒ax2+bx+c=0⇔x1=x2=−b2aΔ<0⇒ax2+bx+c=0⇔x∈∅𝛥>0⇒ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥1=−𝑏+𝛥2𝑎𝑥2=−𝑏−𝛥2𝑎𝛥=0⇒ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎𝛥<0⇒ ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥∈∅

+ Với Δ'=b'2−ac(b'=b2)𝛥'=𝑏'2−𝑎𝑐𝑏'=𝑏2

Δ'>0⇒ax2+bx+c=0⇔⎡⎣x1=−b'+√Δ'ax2=−b'−√Δ'aΔ'=0⇒ax2+bx+c=0⇔x1=x2=−b'aΔ'<0⇒ax2+bx+c=0⇔x∈∅𝛥'>0⇒ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥1=−𝑏'+𝛥'𝑎𝑥2=−𝑏'−𝛥'𝑎𝛥'=0⇒ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥1=𝑥2=−𝑏'𝑎𝛥'<0⇒ ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥∈∅

- Xét phương trình ax2+bx+c=0ax2+𝑏𝑥+𝑐=0 (a≠0𝑎≠0) có:

+) a + b + c = 0

⇔ax2+bx+c=0⇔[x1=1x2=ca⇔ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥1=1𝑥2=𝑐𝑎

+) a - b + c = 0

⇒ax2+bx+c=0⇔[x1=−1x2=−ca⇒ax2+𝑏𝑥+𝑐=0⇔𝑥1=−1𝑥2=−𝑐𝑎

- Phương trình tích:

A(x).B(x)=0⇔[A(x)=0B(x)=0𝐴(𝑥).𝐵(𝑥)=0⇔𝐴(𝑥)=0𝐵(𝑥)=0

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định

+ Quy đồng mẫu số và bỏ mẫu số

+ Giải phương trình sau khi bỏ mẫu số

+ Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định xem có thỏa mãn hay không

+ Kết luận nghiệm

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình: 2x−4+4xx+1=32𝑥−4+4𝑥𝑥+1=3.

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình: {x−4≠0x+1≠0⇔{x≠4x≠−1𝑥−4≠0𝑥+1≠0⇔𝑥≠4𝑥≠−1

Ta có:2x−4+4xx+1=32𝑥−4+4𝑥𝑥+1=3

⇔2(x+1)(x−4)(x+1)+4x(x−4)(x+1)(x−4)=3(x+1)(x−4)(x+1)(x−4)⇒2(x+1)+4x(x−4)=3(x+1)(x−4)⇔2x+2+4x2−16x=3(x2−4x+x−4)⇔2x+2+4x2−16x=3x2−12x+3x−12⇔2x+2+4x2−16x−3x2+12x−3x+12=0⇔x2−5x+14=0⇔2(𝑥+1)(𝑥−4)(𝑥+1)+4𝑥(𝑥−4)(𝑥+1)(𝑥−4)=3(𝑥+1)(𝑥−4)(𝑥+1)(𝑥−4)⇒2(𝑥+1)+4𝑥(𝑥−4)=3(𝑥+1)(𝑥−4)⇔2𝑥+2+4𝑥2−16𝑥=3(𝑥2−4𝑥+𝑥−4)⇔2𝑥+2+4𝑥2−16𝑥=3𝑥2−12𝑥+3𝑥−12⇔2𝑥+2+4𝑥2−16𝑥−3𝑥2+12𝑥−3𝑥+12=0⇔𝑥2−5𝑥+14=0

Xét phương trình x2−5x+14=0𝑥2−5𝑥+14=0

Δ=(−5)2−4.1.14=−31<0𝛥=(−5)2−4.1.14=−31<0

⇒⇒Phương trình x2−5x+14=0𝑥2−5𝑥+14=0 vô nghiệm

Vậy phương trình 2x−4+4xx+1=32𝑥−4+4𝑥𝑥+1=3 vô nghiệm.

Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 2mx2+5x−1=02𝑚𝑥2+5𝑥−1=0

b)x2−4x+2=0𝑥2−4𝑥+2=0

Lời giải:

a)

Khi 2m=0⇔m=02𝑚=0⇔𝑚=0, xét phương trình 2mx2+5x−1=02𝑚𝑥2+5𝑥−1=0 trở thành phương trình bậc nhất 5x – 1 = 0 có duy nhất một nghiệm x=15𝑥=15

Khi 2m≠0⇔m≠02𝑚≠0⇔𝑚≠0, xét phương trình bậc hai: 2mx2+5x−1=02𝑚𝑥2+5𝑥−1=0

Δ=52−4.2m.(−1)=25+8m𝛥=52−4.2𝑚.(−1)=25+8𝑚

Với Δ>0⇔25+8m>0⇔m>−258𝛥>0⇔25+8𝑚>0⇔𝑚>−258 và m≠0𝑚≠0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1=−5+√25+8m4m𝑥1=−5+25+8𝑚4𝑚,x2=−5−√25+8m4m𝑥2=−5−25+8𝑚4𝑚

Với Δ=0⇔25+8m=0⇔m=−258𝛥=0⇔25+8𝑚=0⇔𝑚=−258 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép:

x1=x2=−b2a=−54m=−54.(−258)=25𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎=−54𝑚=−54.−258=25

Với Δ<0⇔25+8m<0⇔m<−258𝛥<0⇔25+8𝑚<0⇔𝑚<−258 thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

b)

Xét phương trình bậc hai:x2−4x+2=0𝑥2−4𝑥+2=0

b'=b2=−42=−2Δ'=(−2)2−1.2=2 > 0𝑏'=𝑏2=−42=−2𝛥'=(−2)2−1.2=2 > 0

⇒⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=−(−2)+√21=2+√2x2=−(−2)−√21=2−√2𝑥1=−(−2)+21=2+2𝑥2=−(−2)−21=2−2

Bài 3: Giải phương trình:

(x2−3x+2)(2x2+5x+3)=0(𝑥2−3𝑥+2)(2𝑥2+5𝑥+3)=0

Lời giải:

(x2−3x+2)(2x2+5x+3)=0(𝑥2−3𝑥+2)(2𝑥2+5𝑥+3)=0 (1)

⇔[x2−3x+2=02x2+5x+3=0⇔𝑥2−3𝑥+2=02𝑥2+5𝑥+3=0

Xét phương trình x2−3x+2=0𝑥2−3𝑥+2=0 có: 1 – 3 + 2 = 0

⇒⇒Phương trình có hai nghiệm: x1=1𝑥1=1,x2=21=2𝑥2=21=2

Xét phương trình 2x2+5x+3=02𝑥2+5𝑥+3=0 có: 2 – 5 + 3 = 0

⇒⇒Phương trình có hai nghiệm: x3=−1𝑥3=−1,x4=−32𝑥4=−32

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣x=1x=−1x=2x=−32(1)⇔𝑥=1𝑥=−1𝑥=2𝑥=−32

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={1;−1;2;−32}𝑆=1;−1;2;−32.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình 3x² + 8x – 4 = 0.

Bài 2: Giải phương trình 3x2x−1+x3=43𝑥2𝑥−1+𝑥3=4.

Bài 3: Giải phương trình 2x² – 5x -7 = 0.

Bài 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m: 2x² + 3x + m−5 = 0

Bài 5: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m: (m−1)x² + 3x + 5 = 0

Bài 6: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m: mx² + 2mx + m − 4 = 0

Bài 7: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

x² − 2x + mx − 3 = 0