100 bài tập về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán
Cách giải các dạng toán về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác . Mời các bạn đón xem:
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải
A. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản.
1. Một số công thức cần thiết.
2. Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ.
2.1. Dạng 1: Tích phân dạng I1=β∫αdxax2+bx+c.
Phương pháp giải:
Biến đổi :
I1=β∫αdxax2+bx+c=β∫αdx(mx+n)2−p2=[12mpln|mx+n−pmx+n+p|]|βα
Ví dụ 1. Cho I=1∫0dx4x2+8x+1=ln(a+b√313)c√3, với a,b,c∈ℝ;c≠0. Đặt S = a + b + c, lúc này S có giá trị bằng
A. S=20+37√3
B. S=37+24√3
C. S=57
D. S=61
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:
2.2. Dạng 2: Tính tích phân I2=β∫αmx+nax2+bx+cdx.
Phương pháp giải
Cách 1:
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)
* Nếu mẫu số có nghiệm kép x=x0 tức là ax2+bx+c=a(x−x0)2 ta giả sử:
mx+nax2+bx+c=Ax−x0+B(x−x0)2
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B thì ta có I2=[A.ln|x−x0|−Bx−x0]βα.
* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x1;x2: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) thì ta giả sử:
mx+nax2+bx+c=Ax−x1+Bx−x2
Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B ta có I2=[Aln|x−x1|+Bln|x−x2|]|βα.
Ví dụ 2. Cho I=0∫−22x−9x2−3x+2dx=aln3+bln2, a;b∈ℤ thì a + 2b có giá trị bằng:
A. ‒35
B. ‒2
C. 2
D. 3
Chọn D.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
Cách 2: Ta thấy .
Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.
Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).
Ta thấy:
I=a.ln3+b.ln2⇒a=I−b.ln2ln3
1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.
2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.
Ta thấy chỉ có trường hợp X=5;F(X)=−7 là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a=−7;b=5⇒a+2b=3.
3. Bài tập tự luyện.
Câu 1. Tích phân I=1∫01x2−x−2dx có giá trị bằng
A. 2ln23
B. −2ln23
C. −2ln2
D. 2ln2
Câu 2. Với 0 < a < 1, giá trị của tích phân sau a∫0dxx2−3x+2dx là:
A. ln|a−22a−1|
B. ln|a−2a−1|
C. ln|a−22(a−1)|
D. ln|a−22a+1|.
Câu 3. Giá trị của tích phân I=0∫−1x3−3x2+2x2+x−2dx gần nhất với gái trị nào sau đây?
A. −ln22
B. ln2−1
C. 32−ln4
D. −ln33
Câu 4. Tích phân I=2∫1ax+1x2+3x+2dx=35ln43+35ln23. Giá trị của a là:
A. a=15
B. a=25
C. a=35
D. a=45
Câu 5. Cho I=1∫013+2x−x2dx=(a−b)ln2+bln3. Giá trị a + b là:
A. 14
B. 12
C. 16
D. 13
Câu 6. Tính: I=1∫0dxx2+4x+3
A. I=ln32
B. I=13ln32
C. I=−12ln32
D. I=12ln32
Câu 7. Tính: I=1∫0dxx2−5x+6
A. I = 1
B. I=ln34
C. I = ln2
D. I = -ln2
Câu 8. Tính I=1∫0(2x2+5x−2)dxx+32x2−4x−8
A. I=16+ln12
B. I=16+ln34
C. I=16−ln3+2ln2
D. I=16−ln3−2ln2
Câu 9. Tính: K=2∫0(x−1)x2+4x+3dx
A. K = 1
B. K = 2
C. K = -2
D. Đáp án khác.
Câu 10. Biết 1∫0x3+3xx2+3x+2dx=a+bln2+cln3 với a, b, c là các số hữu tỉ, tính S=2a+b2+c2.
A. S=515
B. S=164
C. S=436
D. S=−9.
Câu 11. Biết I=4∫0√2x+1dx2x+3√2x+1+3=a+bln2+cln53 với a, b, c nguyên.
Tính T = a + b + c.
A. T = 4.
B. T = 2.
C. T = 1.
D. T = 3.
Câu 12. Tính tích phân I=1∫0(x+4)dxx2+3x+2
A. 5ln2−3ln2
B. 5ln2+2ln3
C. 5ln2−2ln3
D. 2ln5−2ln3
Đáp án
B. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Một số công thức và kĩ năng biến đổi.
2. Các dạng toán hay gặp và cách giải.
2.1. Dạng 1: Tính tích phân: I1=b1∫a1(sinx)ndx;I2=b2∫a2(cosx)ndx
1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.
2. Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.
3. Nếu n≥3 và n lẻ (n=2p+1) thì ta thực hiện biến đổi.
I1=b1∫a1(sinx)ndx=b1∫a1(sinx)2p+1dx=b1∫a1(sinx)2p.sinxdx=−b1∫a1(1−cos2x)pd(cosx)
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1−cos2x)p
Từ đây ta giải quyết được bài toán.
I2=b2∫a2(cosx)ndx=b2∫a2(cosx)2p+1dx=b2∫a2(cosx)2p.cosx.dx=b2∫a2(1−sin2x)pd(sinx)
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1−sin2x)p.
Từ đây ta giải quyết dc bài toán.
2.2. Dạng 2: Tính tích phân I=b∫asinmx.cosnxdx.
Trường hợp 1: m; n là các số nguyên
- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
- Nếu m chẵn, n lẻ (n=2p+1) thì biến đổi
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
- Nếu m lẻ (m=2p+1), n chẵn thì ta biến đổi
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.
Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:
2.3. Dạng 3: Tính tích phân I1=b1∫a1(tanx)ndx;I2=b2∫a2(cotx)ndx (n∈ℕ*)
Sử dụng các công thức sau:
3. Đổi biến số với hàm lượng giác.
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng √x2+a2,√x2−a2,√a2−x2, thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
4. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Cho I=π10∫0cos43xdx. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. I=[38x+112sin6x+196sin12x]|π100
B. I=[112sin6x+196sin12x]|π100
C. I=[−38x+112sin6x+196sin12x]|π100
D. I=[38x−196sin12x]|π100
Lời giải
Ta có
Từ đây ta giải quyết được bài toán.
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho:
A. S=3
B. S=−74105
C. S=−54
D. S=19
Lời giải
Ta có :
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho I=π3∫0(sin2x)7.(cos2x)100dx. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Lời giải
Chọn C.
5. Bài tập tự luyện.
Câu 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;π] đạt giá trị bằng 0?
A. f(x)=cos3x
B. f(x)=sin3x
C. f(x)=cos(x4+π2)
D. f(x)=sin(x4+π2).
Câu 2. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn 2∫0f(x)dx=6. Giá trị của tích phân π/2∫0f(2sinx)cosxdx là
A. -6.
B. 6.
C. -3.
D. 3.
Câu 3. Tích phân I=π2∫π3dxsinx có giá trị bằng
A. 12ln13
B. 2ln3
C. 12ln3
D. 2ln13.
Câu 4. Xét tích phân I=π/3∫0sin2x1+cosxdx. Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây
A. I=−π/4∫02t1+tdt
B. I=π/4∫02t1+tdt
C. I=−1∫122t1+tdt
D. I=1∫122t1+tdt.
Câu 5. Giá trị của tích phân 2π3∫π3cos(3x−2π3)dx là:
A. −√33
B. −√23
C. −2√33
D. −2√23.
Câu 6. Giá trị của tích phân I=π2∫0cos2xcos2xdx là:
A. π6
B. π8
C. π4
D. π2
Câu 7. Giá trị tích phân J=π2∫0(sin4x+1)cosxdx là:
A. 25
B. 35
C. 45
D. 65.
Câu 8. Giá trị tích phân I=π2∫0sinx1+3cosxdx là:
A. 23ln2.
B. 23ln4
C. 13ln4
D. 13ln2.
Câu 9. Tích phân I=π3∫0sin2xtanxdx có giá trị bằng:
A . ln3−35
B. ln2−2
C. ln2−34
D. ln2−38.
Câu 10. Cho tích phân I=π2∫0√1+3cosx.sinxdx. Đặt u=√3cosx+1.Khi đó I bằng:
A. 233∫1u2du
B. 232∫0u2du
C. 29u3|21
D. 3∫1u2du
Câu 11. Giá trị của tích phân I=12∫01√1−x2dx là?
A. π6
B. π4.
C. π3
D. π2.
Câu 12. Giá trị của tích phân I=1∫0dx1+x2 là?
A. I=π2
B. I=3π4
C. I=π4
D. I=5π4
Câu 13. Giá trị của tích phân I=π2∫0(sin4x+cos4x)(sin6x+cos6x)dx là?
A. I=32128π
B. I=33128π
C. I=31128π
D. I=30128π
Câu 14. Giá trị của tích phân I=π∫0xdxsinx+1 là?
A. I=π4
B. I=π2
C. I=π3
D. I=π
Câu 15. Giá trị của tích phân π2∫0cos11xdx là?
A. 250693
B. 254693
C. 252693
D. 256693
Câu 16. Giá trị của tích phân π2∫0sin10xdx là?
A. 67π512
B. 61π512
C. 63π512
D. 65π512
Câu 17. Với n∈ℕ,n≥1, tích phân I=π2∫0(1−cosx)nsinxdx có giá trị bằng?
A. 12n
B. 1n−1
C. 1n+1
D. 1n
Câu 18. Giá trị của tích phân I=π2∫π61sin2xln(sinx)dx là?
A. −√3ln2+√3+π3
B. √3ln2+√3−π3
C. −√3ln2−√3−π3
D. −√3ln2+√3−π3
Câu 19. Giá trị của tích phân I=π3∫0cosx√2+cos2xdx là?
A. π4√2
B. π2√2
C. 4π√2
D. −π√2
Câu 20. Cho 1∫0f(x)dx=2018. Tính tích phân π4∫0f(sin2x)cos2xdx?
A. 2018.
B. -1009.
C. -2018.
D. 1009.
Đáp án