100 bài tập về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Cách giải các dạng toán về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác . Mời các bạn đón xem:

1 122 lượt xem


Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải 

A. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản.

1. Một số công thức cần thiết.

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ.

2.1. Dạng 1: Tích phân dạng I1=βαdxax2+bx+c.

Phương pháp giải:

Biến đổi :

I1=βαdxax2+bx+c=βαdx(mx+n)2p2=[12mpln|mx+npmx+n+p|]|βα

Ví dụ 1. Cho I=10dx4x2+8x+1=ln(a+b313)c3, với a,b,c;c0. Đặt S = a + b + c, lúc này S có giá trị bằng

A. S=20+373

B. S=37+243

C. S=57

D. S=61

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2.2. Dạng 2: Tính tích phân I2=βαmx+nax2+bx+cdx.

Phương pháp giải

Cách 1:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)

* Nếu mẫu số có nghiệm kép x=x0 tức là ax2+bx+c=a(xx0)2 ta giả sử:

mx+nax2+bx+c=Axx0+B(xx0)2

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.

Sau khi tìm được A; B thì ta có I2=[A.ln|xx0|Bxx0]βα.

* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x1;x2ax2+bx+c=a(xx1)(xx2) thì ta giả sử:

mx+nax2+bx+c=Axx1+Bxx2

Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.

Sau khi tìm được A; B ta có I2=[Aln|xx1|+Bln|xx2|]|βα.

Ví dụ 2. Cho I=022x9x23x+2dx=aln3+bln2a;b thì a + 2b có giá trị bằng:

A. ‒35

B. ‒2

C. 2

D. 3

Chọn D.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Cách 2: Ta thấy .

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).

Ta thấy:

I=a.ln3+b.ln2a=Ib.ln2ln3

1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta thấy chỉ có trường hợp X=5;F(X)=7 là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a=7;b=5a+2b=3.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Tích phân I=101x2x2dx có giá trị bằng

A. 2ln23

B. 2ln23

C. 2ln2

D. 2ln2

Câu 2. Với 0 < a < 1, giá trị của tích phân sau a0dxx23x+2dx là:

A. ln|a22a1|

B. ln|a2a1|

C. ln|a22(a1)|

D. ln|a22a+1|.

Câu 3. Giá trị của tích phân I=01x33x2+2x2+x2dx gần nhất với gái trị nào sau đây?

A. ln22

B. ln21

C. 32ln4

D. ln33

Câu 4. Tích phân I=21ax+1x2+3x+2dx=35ln43+35ln23. Giá trị của a là:

A. a=15

B. a=25

C. a=35

D. a=45

Câu 5. Cho I=1013+2xx2dx=(ab)ln2+bln3. Giá trị a + b là:

A. 14

B. 12

C. 16

D. 13

Câu 6. Tính: I=10dxx2+4x+3

AI=ln32

B. I=13ln32

CI=12ln32

D. I=12ln32

Câu 7. Tính: I=10dxx25x+6

A. I = 1

BI=ln34

C. I = ln2

D. I = -ln2

Câu 8. Tính I=10(2x2+5x2)dxx+32x24x8

A. I=16+ln12

B. I=16+ln34

C. I=16ln3+2ln2

D. I=16ln32ln2

Câu 9. Tính: K=20(x1)x2+4x+3dx

A. K = 1

B. K = 2

C. K = -2

D. Đáp án khác.

Câu 10. Biết 10x3+3xx2+3x+2dx=a+bln2+cln3 với a, b, c là các số hữu tỉ, tính S=2a+b2+c2.

A. S=515

B. S=164

C. S=436

D. S=9.

Câu 11. Biết I=402x+1dx2x+32x+1+3=a+bln2+cln53 với a, b, c nguyên.

Tính T = a + b + c.

A. T = 4.

B. T = 2.

C. T = 1.

D. T = 3.

Câu 12. Tính tích phân I=10(x+4)dxx2+3x+2

A. 5ln23ln2

B. 5ln2+2ln3

C. 5ln22ln3

D. 2ln52ln3

Đáp án

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Một số công thức và kĩ năng biến đổi.

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Các dạng toán hay gặp và cách giải.

2.1. Dạng 1: Tính tích phân: I1=b1a1(sinx)ndx;I2=b2a2(cosx)ndx

1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.

2. Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.

3. Nếu n3 và n lẻ (n=2p+1) thì ta thực hiện biến đổi.

I1=b1a1(sinx)ndx=b1a1(sinx)2p+1dx=b1a1(sinx)2p.sinxdx=b1a1(1cos2x)pd(cosx)

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1cos2x)p

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

I2=b2a2(cosx)ndx=b2a2(cosx)2p+1dx=b2a2(cosx)2p.cosx.dx=b2a2(1sin2x)pd(sinx)

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1sin2x)p.

Từ đây ta giải quyết dc bài toán.

2.2. Dạng 2: Tính tích phân I=basinmx.cosnxdx.

Trường hợp 1: m; n là các số nguyên

- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

- Nếu m chẵn, n lẻ (n=2p+1) thì biến đổi

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ (m=2p+1), n chẵn thì ta biến đổi

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.

Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2.3. Dạng 3: Tính tích phân I1=b1a1(tanx)ndx;I2=b2a2(cotx)ndx (n*)

Sử dụng các công thức sau:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

3. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng x2+a2,x2a2,a2x2, thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho I=π100cos43xdx. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. I=[38x+112sin6x+196sin12x]|π100

B. I=[112sin6x+196sin12x]|π100

C. I=[38x+112sin6x+196sin12x]|π100

D. I=[38x196sin12x]|π100

Lời giải

Ta có

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho:

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

A. S=3

B. S=74105

C. S=54

D. S=19

Lời giải

Ta có :

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho I=π30(sin2x)7.(cos2x)100dx. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;π] đạt giá trị bằng 0?

A. f(x)=cos3x

B. f(x)=sin3x

C. f(x)=cos(x4+π2)

D. f(x)=sin(x4+π2).

Câu 2. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn 20f(x)dx=6. Giá trị của tích phân π/20f(2sinx)cosxdx là

A. -6.

B. 6.

C. -3.

D. 3.

Câu 3. Tích phân I=π2π3dxsinx có giá trị bằng

A. 12ln13

B. 2ln3

C. 12ln3

D. 2ln13.

Câu 4. Xét tích phân I=π/30sin2x1+cosxdx. Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây

A. I=π/402t1+tdt

B. I=π/402t1+tdt

C. I=1122t1+tdt

D. I=1122t1+tdt.

Câu 5. Giá trị của tích phân 2π3π3cos(3x2π3)dx là:

A33

B23

C233

D223.

Câu 6. Giá trị của tích phân I=π20cos2xcos2xdx là:

Aπ6

Bπ8

Cπ4

Dπ2

Câu 7. Giá trị tích phân J=π20(sin4x+1)cosxdx là:

A25

B35

C45

D65.

Câu 8. Giá trị tích phân I=π20sinx1+3cosxdx là:

A23ln2.

B23ln4

C13ln4

D13ln2.

Câu 9. Tích phân I=π30sin2xtanxdx có giá trị bằng:

A . ln335

Bln22

Cln234

Dln238.

Câu 10. Cho tích phân I=π201+3cosx.sinxdx. Đặt u=3cosx+1.Khi đó I bằng:

A2331u2du

B. 2320u2du

C29u3|21

D31u2du

Câu 11. Giá trị của tích phân I=12011x2dx là?

Aπ6

B. π4.

Cπ3

D. π2.

Câu 12. Giá trị của tích phân I=10dx1+x2 là?

AI=π2

BI=3π4

CI=π4

DI=5π4

Câu 13. Giá trị của tích phân I=π20(sin4x+cos4x)(sin6x+cos6x)dx là?

A. I=32128π

BI=33128π

C. I=31128π

DI=30128π

Câu 14. Giá trị của tích phân I=π0xdxsinx+1 là?

AI=π4

BI=π2

CI=π3

DI=π

Câu 15. Giá trị của tích phân π20cos11xdx là?

A250693

B254693

C252693

D256693

Câu 16. Giá trị của tích phân π20sin10xdx là?

A67π512

B61π512

C63π512

D65π512

Câu 17. Với n,n1, tích phân I=π20(1cosx)nsinxdx có giá trị bằng?

A. 12n

B. 1n1

C. 1n+1

D. 1n

Câu 18. Giá trị của tích phân I=π2π61sin2xln(sinx)dx là?

A3ln2+3+π3

B. 3ln2+3π3

C. 3ln23π3

D. 3ln2+3π3

Câu 19. Giá trị của tích phân I=π30cosx2+cos2xdx là?

A. π42

B. π22

C. 4π2

D. π2

Câu 20. Cho 10f(x)dx=2018. Tính tích phân π40f(sin2x)cos2xdx?

A. 2018.

B. -1009.

C. -2018.

D. 1009.

Đáp án

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

1 122 lượt xem