100 công thức về phép đồng dạng (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức và cách giải các dạng toán về phép đồng dạng gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về phép đồng dạng. Mời các bạn đón xem

1 66 lượt xem


Công thức phép đồng dạng 

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta có: M’N’ = kMN.

* Tính chất:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho với tỉ số đồng dạng k.

- Biến góc thành góc bằng nó.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.

2. Công thức

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0)

- Biến hai điểm M(xM; yM), N(xN; yN) thành 2 điểm tương ứng M’(x’M; y’M), N’(x’N; y’N) ta luôn có M’N’ = kMN.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x22=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=12 và phép quay tâm O góc 450.

Lời giải

* Gọi d1 là ảnh của d qua phép vị tử tâm O , tỉ số k=12.

Vì d1 song song hoặc trùng với d nên phương trình của d1 có dạng: x + c = 0

Lấy M22;0d thì ảnh của M qua phép VO;12 là N(xN; yN) thuộc d1

Tọa độ N là:

xN=12.22yN=12.0xN=2yN=0N2;0

Vậy phương trình của d1:x2=0.

* Lấy hai điểm A2;0 và B2;2 thuộc d1

Gọi ảnh của A và B qua phép quay QO;45° A’ và B’. Khi đó đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A’ và B’.

Tọa độ điểm A’:

xA'=2cos45°0.sin45°yA'=2sin45°+0.cos45°xA'=1yA'=1A'1;1

Tọa độ điểm B’:

xB'=2cos45°2.sin45°yB'=2sin45°+2.cos45°xB'=2yB'=0B'2;0

Phương trình đường thẳng d’ qua A’(1;1), có VTCP là A'B'=1;1. Suy ra VTPT là nd'=1;1.

Vậy phương trình d’: (x – 1) + (y – 1) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm I(1; 3) , tỉ số k=12 và phép quay tâm A(-1;1), góc quay 450 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đường tròn (C) có bán kính R = 2.

Phép vị tự tâm I(1; 3) , tỉ số k=12 biến (C) thành (C1) có bán kính R1=12R=1.

Phép quay tâm A(-1;1) góc quay 450 biến (C1) thành (C’) có bán kính R’ = R1 = 1.

Vậy đường tròn (C) qua phép đồng dạng như trên thành đường tròn (C’) có bán kính R’ = 1.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k=12 và phép đối xứng trục Ox biến điểm M(4;2) thành điểm có tọa độ:

A. M’(2;-1)

B. M’(8;1)

C. M’(4;2)

D. M’(8;4)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm O , tỉ số k=12 và phép quay tâm O, góc quay 900 sẽ biến (C) thành đường tròn nào có phương trình sau?

A. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 1

B. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1         

C. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1

D. (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x – y = 0

B. 2x + y = 0

C. 4x – y = 0

D. 2x + y – 2 = 0

Đáp án: 1A, 2D, 3B

1 66 lượt xem