100 công thức giải bất phương trình mũ đầy đủ, chi tiết nhất (2024) và cách giải các dạng bài tập

Công thức giải bất phương trình mũ chi tiết nhất

1. Bất phương trình mũ cơ bản

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ (hoặc $a^x\ge b$, $a^x<b$, $a^x\le b$)

 với $a>0,a\ne 1$.

2. Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b ( a>0,a \(\ne\) 1 )

b. Tập nghiệm của bất phương trình a^x \(\ge\) b ( a>0,a\(\ne\)1)

c. Tập nghiệm của bất phương trình  a^x < b ( a>0,a \(\ne\) 1 ) 

d. Tập nghiệm của bất phương trình  a^x \(\le\) b ( a>0,a\(\ne\)1) 

3. Một số bất phương trình mũ đơn giản

VD1. Giải bất phương trình sau:

a. $3^{x^2-x}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}$

b. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt{2-x}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^x$

Lời giải:

a. 

$$\begin{gathered} 3^{x^2-x}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}{3}^{x^2-x}<3^{-x+1} \\ \iff x^2-x<-x+1 \\ \iff x^2<1\iff -1<x<1 \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-1;1\right)$

b. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt{2-x}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^x$. Điều kiện: $2-x\ge 0\iff x\le 2$

Bất phương trình $\iff \sqrt{2-x}<x$ (vì cơ số $\frac{2}{5}<1$)

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}0<x\le 2\\ 2-x<x^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0<x\le 2\\ \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff 1<x\le 2 \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(1;2\right]$

VD2. Giải các bất phương trình sau:

a. $4^x-2^x-2\ge 0$

b. $4^{x+1}+6^x-{3.9}^x<0$

c. $0,4^x-2,5^{x+1}>1,5$

Lời giải:

a.

b.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left({\log }_{\frac{2}{3}}\frac{3}{4};+\infty \right)$

c.

VD3. Giải bất phương trình: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\le x+4$

Lời giải:

Xét hàm số $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-x-4$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x.\ln \frac{1}{3}-1<0$. Do đó f(x) nghịch biến

Với $x<-1\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(-1\right)=0$ nên $f\left(x\right)\le 0$ vô nghiệm

Với $x\ge -1\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(-1\right)=0$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[-1;+\infty \right)$

VD4. Tìm tập nghiệm của bất phương trình: $5^{x^2-5x+6}>2^{x-3}$

Lời giải:

Lôgarit cơ số 5 hai vế ta được: ${\log }_5{5}^{x^2-5x+6}>{\log }_5{2}^{x-3}$

4. Luyện tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a.  $2^{-x^2+5x+3}<8$

b. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x^2-3x}\ge 1,5$

c. ${11}^{\sqrt{x+6}}\ge {11}^x$

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a. $2^{2x-1}+2^{2x-2}\ge 48$

b. ${16}^x-4^x-6\le 0$

c. $\frac{3^x}{3^x-2}<3$

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a. $4^x-{3.2}^x+2>0$

b. $4^x-{2.5}^{2x}<{10}^x$

c. $5^{x^2-5x+6}\le 2^{x-3}$

Bài 4. Giải các bất phương trình sau

a.  ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<x-\frac{1}{2}$

b. $3^x>5-2x$