100 bài tập về tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải 

1. Lý thuyết

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

2. Các dạng bài tập

2.1 Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ xác định khi $g\left(x\right)\ne 0$

$y=\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định khi $f\left(x\right)\ge 0$

$y=\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{g\left(x\right)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

y = cot[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\sin x\ne 0$ khi $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos x\ne 0$ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau

a) $y=\tan \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)$

b) $y=\sqrt{2-\sin x}$

Lời giải

a) $y=\tan \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)}{\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)}$

Điều kiện xác định: $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$

$\begin{array}{l}\iff 3x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \iff 3x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \iff x\ne \frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Điều kiện xác định: $2-\sin x\ge 0$

$\iff \sin x\le 2$ (đúng $\forall x\in ℝ$) vì $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

Vậy tập xác định của hàm số là D = R.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau

a) $y=\frac{2}{\sin x-\cos x}$

b) $y=\frac{\tan 3x}{2\sin x+1}+\cot \left(x-1\right)$

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $\sin x-\cos x\ne 0\iff \sin x\ne \cos x$ (*)

+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin2x + cos2x = 1

$\iff {\sin }^{2}x=1\iff \sin x=\pm 1$

Hiển nhiên $\sin x\ne \cos x$.

+ Trường hợp 2: $\cos x\ne 0$. Chia cả hai vế cho cosx

(*) $\iff \frac{\sin x}{\cos x}\ne 1$$\iff \tan x\ne 1$$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Vì $\tan 3x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}$ và $\cot \left(x-1\right)=\frac{\cos \left(x-1\right)}{\sin \left(x-1\right)}$

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \sin x\ne \frac{-1}{2}\\ \sin \left(x-1\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x-1\ne k\pi \end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne 1+k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne 1+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};1+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2.2 Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1;0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$ $0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 2sin3x – 5

b) $y=2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)+5$

c) y = |cos(3x-2)| + 4

Lời giải

a) Ta có: $-1\le \sin 3x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin 3x\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -7\le 2\sin 3x-5\le -3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].

b) Ta có: $0\le {\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$$$\begin{array}{l}\iff 0\le 2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff 5\le 2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)+5\le 7\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [5;7].

c) Ta có: $0\le \left|cos\left(3x-2\right)\right|\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff 4\le \left|cos\left(3x-2\right)\right|+4\le 5\forall x\in ℝ$

Vậy tập giá trị: T = [4;5].

Ví dụ 2. Tìm tập giác trị của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{\sin x+1}-2$

b) y = cos2x + 4sinx +1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $\sin x+1\ge 0\iff \sin x\ge -1\forall x\in ℝ$.

Tập xác định D = R.

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le \sin x+1\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le \sqrt{\sin x+1}\le \sqrt{2}\forall x\in ℝ\\ \iff -2\le \sqrt{\sin x+1}-2\le \sqrt{2}-2\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: $T=\left[-2;\sqrt{2}-2\right]$.

b) y = cos2x + 4sinx +1 = 1 - 2sin2x + 4sinx +1 = -2sin2x + 4sinx + 2 = -2(sinx – 1)2 + 4.

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -8\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -4\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2+4\le 4\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [-4;4].

2.3 Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R

- Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}m\ge f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m\ge \underset{x\in \left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m>f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m>\underset{x\in \left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m\le f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m\le \underset{x\in \left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\\ m<f\left(x\right)\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow m<\underset{x\in \left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\end{array}$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{\sin x+m}$ xác định trên R.

Lời giải

Để hàm số xác định trên R thì $\sin x+m\ge 0\forall x\in ℝ\iff m\ge -\sin x\forall x\in ℝ$.

Mà ta có $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff -1\le -\sin x\le 1\forall x\in ℝ$

Nên $m\ge 1$.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{{\sin }^{2}x-2\sin x+m}$ xác định trên R.

Lời giải

Ta có:$y=\sqrt{{\sin }^{2}x-2\sin x+m}$$=\sqrt{{\left(\sin x-1\right)}^2+m-1}$

Hàm số xác định trên R khi ${\left(\sin x-1\right)}^2+m-1\ge 0\forall x\in ℝ$

$\iff m\ge 1-{\left(\sin x-1\right)}^2\forall x\in ℝ$

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -4\le -{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -3\le 1-{\left(\sin x-1\right)}^2\le 1\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy $m\ge 1$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y=\cot \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ là

A. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{5\pi }{12}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 2. Tập xác định của hàm số $y=\tan x+\cot x$ là

A. R

B. $ℝ\backslash \left\{k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 3. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\sin x+1}$ là:

A. $D=\left[-1;+\infty \right)$

B. D = R

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=\left(-\infty ;-1\right]$

Câu 4. Tập xác định của hàm số $y=\frac{3\sin x}{2\cos x-\sqrt{3}}$ là:

A. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left\{\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y=\frac{2021}{1-\tan x}+{\sin }^{2}x$ là

A. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi ;-\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 6. Tập xác định của hàm số $y=\frac{2x-1}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}$ là

A. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{3\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 7. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1-\cos 3x}{1+\sin 4x}}$ là

A. $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 8. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là R?

A. y = sinx + cot5x

B. $y=\frac{\tan 3x}{{\sin }^{2}x+1}$

C. $y=2\cos \sqrt{x}$

D. $y=\sqrt{1-\sin 2x}$

Câu 9. Tập giá trị của hàm số y = 1 – 2|sin2x| là

A. [1;3]

B. [-1;1]

C. [-1;3]

D. [-1;0]

Câu 10. Tập giá trị của hàm số là

A. [2;3]

B. [1;2]

C. [2;4]

D. [3;4]

Câu 11. Tập giá trị của hàm số y = 2 + sinxcosx có dạng T = [m,M]. Giá trị của m là:

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Câu 12. Tập giá trị của hàm số y = 2sin3x +1 là

A. [-1;1]

B. [-5;7]

C. [0;2]

D. [-1;3]

Câu 13. Tìm m để hàm số $y=\frac{2}{\sin x-m}$ xác định trên R

A. $m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

B. $m\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left[1;+\infty \right)$

C. $m\ne 1$

D. $m\in \left[-1;1\right]$

Câu 14. Hàm số $y=\frac{2-\sin 2x}{\sqrt{2\cos x+m-1}}$ có tập xác định R khi và chỉ khi:

A. m > 3

B. m < -1

C. $m\ge 3$

D. $m\le -1$

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\sqrt{{\sin }^{2}x-4\cos x+2m-1}$ có tập xác định là R.

A. $m\ge -\frac{3}{2}$

B. $m\ge \frac{5}{2}$

C. Không có m thỏa mãn

D. $m\ge 5$

Bảng đáp án