100 công thức về mệnh đề và mệnh đề phủ định (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Phương pháp giải về mệnh đề và mệnh đề phủ định hay nhất

I. Lý thuyết tổng hợp

- Mệnh đề: Là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

- Mệnh đề chứa biến: Là câu khẳng định mà sự đúng đắn, hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.

- Mệnh đề phủ định: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề trái ngược với P, kí hiệu là ¯¯¯P𝑃¯. Nếu P đúng thì ¯¯¯P𝑃¯ sai, nếu P sai thì ¯¯¯P𝑃¯ đúng.

- Mệnh đề kéo theo: Có dạng 'Nếu A thì B' (A và B là hai mệnh đề ), kí hiệu là A⇒B𝐴⇒𝐵. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo: Mệnh đề A⇒B𝐴⇒𝐵 chỉ sai khi A đúng và B sai.

- Mệnh đề đảo: Mệnh đề B⇒A𝐵⇒𝐴là mệnh đề đảo của mệnh đề .

- Mệnh đề tương đương: Nếu A⇒B𝐴⇒𝐵 là một mệnh đề đúng và mệnh đề B⇒A𝐵⇒𝐴 cũng là một mệnh đề đúng thì ta nói A tương đương với B, kí hiệu: . Khi A⇔B𝐴⇔𝐵, ta cũng nói A là điều kiện cần và đủ để có B hoặc A khi và chỉ khi B hay A nếu và chỉ nếu B.

- Kí hiệu ∀∀: Đọc là “ với mọi ” .

- Kí hiệu ∃∃: Đọc là “có một” (“tồn tại một”) hoặc “có ít nhất một” (“tồn tại ít nhất một”).

II. Các công thức

- Với mệnh đề ¯¯¯P𝑃¯ là mệnh đề phủ định của P thì:

+ P sai ⇔¯¯¯P⇔𝑃¯ đúng

+ P đúng ⇔¯¯¯P⇔𝑃¯ sai

- Mệnh đề A⇒B𝐴⇒𝐵chỉ sai khi A đúng và B sai.

- Mệnh đề đảo của mệnh đề A⇒B𝐴⇒𝐵 là mệnh đề B⇒A𝐵⇒𝐴

- Nếu A⇒B𝐴⇒𝐵 và B⇒A𝐵⇒𝐴đồng thời là hai mệnh đề đúng thì A⇔B𝐴⇔𝐵.

- Cho P(x) là mệnh đề chứa biến, x thuộc tập hợp X. Với bất kì x thì P(x) là mệnh đề đúng, tức là: ∀x∈X:P(x)∀𝑥∈𝑋:𝑃(𝑥)

- Cho P(x) là mệnh đề chứa biến, x thuộc tập hợp X. Có ít nhất một giá trị x để P(x) là mệnh đề đúng , tức là:∃x∈X:P(x)∃𝑥∈𝑋:𝑃(𝑥)

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề ∀x∈X:P(x)∀𝑥∈𝑋:𝑃(𝑥) là ∃x∈X:¯¯¯¯¯¯¯¯P(x)∃𝑥∈𝑋:𝑃(𝑥)¯

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho mệnh đề A: “ Biểu thức A lớn hơn không ”, mệnh đề B: “ Biểu thức A nhỏ hơn không ” và mệnh đề C: “ Biểu thức A + 1 lớn hơn 1 ”. Với A = 1, hãy xét tính đúng sai của mệnh đề A⇒B𝐴⇒𝐵 và chứng minh rằng A⇔C𝐴⇔𝐶.

Lời giải:

Dễ thấy mệnh đề B: “ Biểu thức A nhỏ hơn không ” là mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “ Biểu thức A lớn hơn không ”. Mà theo đề bài, ta có: mệnh đề A với A = 1 > 0 là đúng ⇒⇒ mệnh đề B sai.

Khi đó, mệnh đề A⇒B𝐴⇒𝐵 là mệnh đề sai vì A là mệnh đề đúng và B là mệnh đề sai.

Ta có: A = 1 ⇒⇒A > 0 ⇒⇒ A + 1 > 0 + 1 ⇒⇒ A + 1 > 1.

Từ đó ta thấy A⇒C𝐴⇒𝐶 là mệnh đề đúng. (1)

Ta có: A = 1 ⇒⇒A + 1 > 1⇒⇒ A + 1 – 1 > 1 – 1 ⇒⇒ A > 0

Từ đó ta thấy C⇒A𝐶⇒𝐴 là mệnh đề đúng. (2)

Từ (1) và (2) ta có: A⇔C𝐴⇔𝐶

Bài 2: Cho mệnh đề A: “Phương trình x2−4x+3=0𝑥2−4𝑥+3=0có hai nghiệm trái dấu”. Xét tính đúng sai của mệnh đề ¯¯¯A𝐴¯.

Lời giải:

Xét mệnh đề A: “Phương trình x2−4x+3=0𝑥2−4𝑥+3=0 có hai nghiệm trái dấu”.

Xét phương trình x2−4x+3=0𝑥2−4𝑥+3=0 có : 1 – 4 + 3 = 0 Phương trình có hai nghiệm: x1=1;x2=3𝑥1=1;𝑥2=3 (cùng dấu )

Mệnh đề A là mệnh đề sai.

Mà mệnh đề ¯¯¯A𝐴¯ là mệnh đề phủ định của A nên khi A là mệnh đề sai thì ¯¯¯A𝐴¯ là mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề ¯¯¯A𝐴¯ là mệnh đề đúng.

Bài 3: Cho mệnh đề chứa biến ∀x∈R:x2>0∀𝑥∈ℝ:𝑥2>0. Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của nó.

Lời giải:

Ta có: x = 0 ⇒x2=0⇒𝑥2=0 nên ∀x∈R:x2>0∀𝑥∈ℝ:𝑥2>0 là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề ∀x∈R:x2>0∀𝑥∈ℝ:𝑥2>0 là ∃x∈R:x2≤0∃𝑥∈ℝ:𝑥2≤0

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho mệnh đề A: “4 + 5 = 9 ”. Xét tính đúng sai của mệnh đề ¯¯¯A𝐴¯.

Bài 2: Cho mệnh đề ∀x∈R:x+53≥5∀𝑥∈𝑅:𝑥+53≥5. Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định của nó.

Bài 3: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “∀n ∈ N, n² + 1 không chia hết cho 3”

Bài 4: Xét các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề:

a. ∀x ∈ R, x² - x + 1 > 0.

b. ∃x ∈ N, (n + 2)(n + 1) = 0.

c. ∃x ∈ Q, x² = 3.

Bài 5: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “∀n ∈ N, n² + 1 không chia hết cho 3