100 công thức về tính thể tích khối chóp (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức và cách giải các dạng toán về tính thể tích khối chóp gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về tính thể tích khối chóp. Mời các bạn đón xem:

1 128 lượt xem


Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất 

1. Lí thuyết

  •  Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.
  • Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

 

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

  • Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

2. Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích V=13h.S

3. Thể tích một số khối chóp đặc biệt

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau.Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải:

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Do ABCD là tứ diện đều nên AGBCD

DG=a33AG=a63

SΔBCD=a234

Suy ra :

VABCD=13.a63.a234=a3212

Vậy thể tích khối tứ diện đều là:

V=canh3212

b. Khối chóp tam giác đều : Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.
Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng a2. Tính thể tích khối chóp.

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có SGABC

AG=a33SG=a153VS.ABC=13.a153.a234=a3512

Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC đều có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB=a; BC=a3. Các cạnh bên tạo với đáy góc 60. Tính VS.ABC

Lời giải:

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Do ΔABC vuông tại B nên O là trung điểm của AC.

Ta có :

SA,ABC=SA,OA=SAO^=60

Áp dụng định lí pytago cho ΔABC ta được AC=2aSO=a3

SΔABC=a232VS.ABC=13.a3.a232=a32

c. Khối chóp tứ giác đều : Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Bài toán: Cho khối chóp đều S.ABCD đáy vuông cạnh a. Các cạnh bên dài 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có SOABCD

BD=a2OD=a22. Áp dụng pytago cho ΔSOD ta được SO=a142

Diện tích ABCD là a2

VS.ABCD=13.a142.a2=a3146

d. Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc : Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c. Khi đó thể tích khối chóp này là:e. Khối tứ diện gần đều : Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Bài toán: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=aAC=BD=b và AD=BC=c. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Công thức tỉ số thể tích

Bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A'; B'; C'

Khi đó tỉ số thể tích:

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA.SB'SB.SC'SC

VD1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là 120.

Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, Q sao cho: MA=2SM;NB=3SN và QC=4SQ . Tính thể tích khối chóp S.MNQ?

Lời giải:

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có:

SMSA=13; SNSB=14SQSC=15

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

VS.MNQVS.ABC=SMSA.SNSB.SQSC=160

Suy ra VS.MNQ=160.VS.ABC=2

VD2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. SAABC và SA=2aAB=a; BC=a3. Lấy M trung điểm SA và N trung điểm SB.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

b. Tính thể tích khối đa diện

Lời giải:

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Chú ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích ta chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu không là khối chóp tam giác thì ta nên chia khối chóp đã cho thành các khối chóp tam giác để có thể dùng được phương pháp thể tích.

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

5. Luyện tập

Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B. AC=a2CB=a. SA vuông góc với đáy và SA=2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 45. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 60. Tính VS.ABCD.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AD=2aAB=a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằng a32. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Dạng 2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. Mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AD=a3;CD=12ABvà góc giữa SC với đáy bằng 60. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Dạng 3. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng a319. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Đáy ABC vuông tại B, AB=a; BAC^=60. M là trung điểm SA. Khoảng cách từ M đến (SBC) bằng a1919.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Dạng 4. Tỉ số thể tích

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích của ABCD là 100

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60. Lấy A’ trên SA sao cho SA'=13SA. Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’.

1 128 lượt xem