100 công thức về tổ hợp chi tiết nhất (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức tổ hợp 

1. Tổng hợp lý thuyết

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, ($1\le k\le n$). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{A_n^k}{k!}$.

• Tính chất:

$\begin{array}{l}{C}_n^0=C_n^n=1\\ C_n^k=C_n^{n-k},(0\le k\le n)\\ C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1},(1\le k\le n)\end{array}$

•  Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: $0\le k\le n$

2. Các công thức

Công thức tổ hợp: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{A_n^k}{k!}$

Công thức tính chất của tổ hợp:

$\begin{array}{l}{C}_n^0=C_n^n=1\\ C_n^k=C_n^{n-k},(0\le k\le n)\\ C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1},(1\le k\le n)\end{array}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Lời giải

a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: $C_{12}^2=66$ cách.

b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: $A_{12}^2=132$ cách.

c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: $C_{10}^5=252$ cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: $C_5^5=1$ cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

Ví dụ 2: Một hộp có 15 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, 10 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 viên sao cho

a) Các viên bi cùng màu

b) Số bi xanh bằng số bi đỏ, biết luôn có bi xanh và đỏ

c) Có ít nhất 1 viên bi xanh

Lời giải

a) Chọn 5 viên bi cùng màu

+ Trường hợp 1: Chọn được 5 viên bi màu đỏ: $C_{15}^5=3003$ cách.

+ Trường hợp 2: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có $C_5^5=1$ cách.

+ Trường hợp 3: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có $C_{10}^5=252$ cách.

Vậy có 3003 + 1 + 252 = 3256 cách chọn.

b) Chọn được 5 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

+ Trường hợp 1: có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng: $C_5^1.C_{15}^1.C_{10}^3=9000$ cách.

+ Trường hợp 2: có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng: $C_5^2.C_{15}^2.C_{10}^1=10500$ cách.

Vậy có 9000 + 10500 = 19500 cách chọn.

c) Chọn được ít nhất 1 viên bi xanh

Số cách chọn 5 viên bi bất kì là: $C_{30}^5=142506$ cách.

Số cách chọn 5 viên trong đó không có bi xanh là: $C_{25}^5=53130$ cách.

Vậy số cách chọn được ít nhất 1 viên bi xanh là: 142506 – 53130 = 89376 cách chọn.