100 bài tập về cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết nhất

1. Lý thuyết

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D ⊂ R 

- Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le M,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D,f\left(x_0\right)=M\end{array}\right.$

- Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge m,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D,f\left(x_0\right)=m\end{array}\right.$

b) Tính bị chặn của hàm số lượng giác:

$\begin{array}{l}-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ\\ -1\le \cos x\le 1\forall x\in ℝ\end{array}$

2. Các dạng bài tập

2.1 Dạng 1. Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = sin2x + 3

b) y = 4sin2xcos2x +1

c) y = 5 – 3cos23x

Lời giải

a) Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff 2\le \sin 2x+3\le 4\forall x\in ℝ$

Vậy hàm số y = sin2x + 3 có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 2.

b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + 1

Ta có: $-1\le \sin 4x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin 4x\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin 4x+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

c) Ta có: $0\le {\cos }^{2}3x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 3{\cos }^{2}3x\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff -3\le -3{\cos }^{2}3x\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 2\le 5-3{\cos }^{2}3x\le 5\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 5 – 3cos23x có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) $y=\sqrt{2-\sin 2x}$

b) y = cos2x + 4sinx - 5

c) y = 4|cos(3x-1)| + 1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $2-\sin 2x\ge 0\iff \sin 2x\le 2$ (Luôn đúng với mọi x)

Tập xác định D = R.

Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -1\le -\sin 2x\le 1\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 2-\sin 2x\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le \sqrt{2-\sin 2x}\le \sqrt{3}\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sqrt{2-\sin 2x}$ có giá trị lớn nhất là $\sqrt{3}$ và giá trị nhỏ nhất là 1.

b) y = cos2x + 4sinx – 5

= 1 – 2sin2x + 4sinx – 5

= -2sin2x + 4sinx – 4

= -2(sin2x – 2sinx + 1) – 2

= -2(sinx – 1)2 – 2

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -8\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -10\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2-2\le -2\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – 5 có giá trị lớn nhất là -2 và giá trị nhỏ nhất là -10.

c) Ta có: $0\le \left|\cos \left(3x-1\right)\right|\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 4\left|\cos \left(3x-1\right)\right|\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 4\left|\cos \left(3x-1\right)\right|+1\le 5\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1.

2.2 Dạng 2. Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0)

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Ta đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)+c$

$\iff y=\sqrt{a^2+b^2}.\sin \left(x+\alpha \right)+c$ với $\alpha$ thỏa mãn

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

+ Bước 2: Đánh giá $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff -\sqrt{a^2+b^2}\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)$$\le \sqrt{a^2+b^2}\forall x\in ℝ$

$\iff -\sqrt{a^2+b^2}+c\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)+c$$\le \sqrt{a^2+b^2}+c\forall x\in ℝ$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1$

b) y = 3sinx + 4cosx + 6

Lời giải

a)

$\begin{array}{l}y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1\\ =2\left(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)+1\\ =2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{3}\right)+1\\ =2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1$ có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

b) y = 3sinx + 4cosx + 6$=5\left(\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x\right)+6$

Đặt $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ và $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ (vì ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$)

Ta được: $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$.

Ta có: $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -5\le 5\sin \left(x+\alpha \right)\le 5\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 5\sin \left(x+\alpha \right)+6\le 11\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y=\sqrt{3}\sin 2x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+1$

Lời giải

$\begin{array}{l}y=\sqrt{3}\sin 2x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+1\\ =\sqrt{3}\sin 2x-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)+1\\ =\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+1\\ =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+1\\ =2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}\right)+1\\ =2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

2.3 Dạng 3: Hàm số có dạng $y=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$

Lý thuyết: Phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm khi $a^2+b^2\ge c^2$ (Lý thuyết có trong phần 7)

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Điều kiện xác định: $a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\ne 0$.

+ Bước 2: $y=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$

$\iff y{a}_2\sin x+y{b}_2\cos x+y{c}_2$$=a_1\sin x+b_1\cos x+c_1$

$\iff \left(y{a}_2-a_1\right)\sin x+\left(y{b}_2-b_1\right)\cos x$$=-y{c}_2+c_1$ (*)

Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x thì

${\left(y{a}_2-a_1\right)}^2+{\left(y{b}_2-b_1\right)}^2\ge {\left(-y{c}_2+c_1\right)}^2$

Tìm đoạn chứa y, sau đó đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x+\cos x+2\ne 0$

Ta có: sinx + cosx + 2

$\begin{array}{l}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)+2\\ =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+2\\ =\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2\ge -\sqrt{2}+2>0\end{array}$

Do đó $\sin x+\cos x+2\ne 0\forall x\in ℝ$.

Tập xác định: D = R.

Ta có $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

$\iff y\sin x+y\cos x+2y=\sin x+2\cos x+1$

$\iff \left(y-1\right)\sin x+\left(y-2\right)\cos x=1-2y$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ${\left(y-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2\ge {\left(1-2y\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff y^2-2y+1+y^2-4y+4\ge 1-4y+4y^2\\ \iff 2y^2+2y-4\le 0\\ \iff 2\left(y-1\right)\left(y+2\right)\le 0\end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y-1\ge 0\\ y+2\le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}y-1\le 0\\ y+2\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y\ge 1\\ y\le -2\end{array}\right.\left(Loại\right)\\ \left\{\begin{array}{l}y\le 1\\ y\ge -2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff -2\le y\le 1 \end{gathered}$$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{2\sin x-2\cos x}{\sin x-\cos x+3}$

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x-\cos x+3\ne 0$

Ta có: sinx – cosx + 3

$\begin{array}{l}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)+3\\ =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+3\\ =\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+3\ge -\sqrt{2}+3>0\end{array}$

Do đó $\sin x-\cos x+3\ne 0\forall x\in ℝ$.

Tập xác định: D = R.

Ta có: $y=\frac{2\sin x-2\cos x}{\sin x-\cos x+3}$

$\iff y\sin x-y\cos x+3y=2\sin x-2\cos x$

$\iff \left(y-2\right)\sin x-\left(y+2\right)\cos x=-3y$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ${\left(y-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2\ge {\left(-3y\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff y^2-4y+4+y^2+4y+4\ge 9y^2\\ \iff 7y^2\le 8\iff y^2\le \frac{8}{7}\iff \left|y\right|\le \sqrt{\frac{8}{7}}\\ \iff -\frac{\sqrt{56}}{7}\le y\le \frac{\sqrt{56}}{7}\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là $\frac{\sqrt{56}}{7}$ và giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\sqrt{56}}{7}$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin5x – 1

A. min y = -3, max y = 3

B. min y = -1, max y = 1

C. min y = -1, max y=3

D. min y = -3, max y = 1

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+3\cos \left(\frac{\pi }{4}-3x\right)$

A. min y = -2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 4

C. min y = -2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 4

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\cos \left(-2x^2+\frac{\pi }{3}\right)\right|+1$

A. max y = 1, min y = 0

B. max y = 2, min y = 0

C. max y = 1, min y = -1

D. max y = 2, min y = 1

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+3$

A. min y = 2, max y = 5

B. min y = 1, max y = 4

C. min y = 1,max y = 5

D. min y = 1, max y = 3

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2\sin x+3}$

A. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 1

B. $\max y=\sqrt{5}$, $\min y=2\sqrt{5}$

C. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 2

D. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 3

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3+2\sqrt{2+{\sin }^{2}2x}$

A. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

B. $\min y=2+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

C. $\min y=3-2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

D. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+3\sqrt{3}$

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos23x

A. min y = 1, max y = 2

B. min y = 1, max y = 3

C. min y = 2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x – 4sinx + 5

A. max y = 9, min y = 2

B. max y = 10, min y = 2

C. max y = 6, min y = 1

D. max y = 5, min y = 1

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2

A. max y = 3, min y = -7

B. max y = -1, min y = -5

C. max y = 4, min y = -1

D. max y = 3, min y = -5

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1

A. max y = 6, min y = -2

B. max y = 4, min y = -4

C. max y = 6, min y = -4

D. max y = 6, min y = -1

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x+4$

A. min y = 2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 6

C. min y = 4, max y = 6

D. min y = 2, max y = 8

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x

A. min y = -5, max y = 5

B. min y = -4, max y = 4

C. min y = -3, max y = 5

D. min y = -6, max y = 6

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2x + 3sin2x – 4cos2x

A. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}+1$

B. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}-1$

C. $\min y=-3\sqrt{2},\max y=3\sqrt{2}-1$

D. $\min y=-3\sqrt{2}-2,\max y=3\sqrt{2}-1$

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x+2}$ là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$. Giá trị của M+m là:

A. $\frac{20}{11}$

B. $\frac{24}{11}$

C. $\frac{4}{11}$

D. $\frac{15}{2}$

Bảng đáp án