100 công thức về tính đường sinh của hình nón (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức tính đường sinh của hình nón chi tiết nhất 

1. Công thức tính đường sinh

Cho hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

Khi đó độ dài đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}$

2. Các dạng bài tập

a. Tính độ dài đường sinh khi biết chiều cao và bán kính đáy

VD1. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 6 và đường cao bằng 8. Tính độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải:

Độ dài đường sinh là :

$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

VD2. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Biết $AB:AC=3:4$ và độ dài AH là 12. Hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AB có đường sinh bằng?

Lời giải:

b. Hình nón có đường sinh tạo với trục góc α

Khi đó: $l=\frac{r}{\sin \alpha }$ hoặc $l=\frac{h}{\cos \alpha }$

VD. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=a$ và  $\widehat{ABC}={30}^{\circ }$.Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

Lời giải:

Độ dài đường sinh:

$l=\frac{h}{\cos \alpha }=\frac{a}{\cos {30}^{\circ }}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

c. Hình nón có đường sinh tạo với đáy góc α

$\alpha =\widehat{OMI}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}l=\frac{r}{\cos \alpha }\\ l=\frac{h}{\sin \alpha }\end{array}\right.$

VD. Tính độ dài đường sinh của hình nón có chu vi đáy là $6\pi$ và góc giữa đường sinh với đáy bằng ${45}^{\circ }$.

Lời giải:

Chu vi đáy:

$C=2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$

Suy ra độ dài đường sinh là:

$l=\frac{r}{\cos \alpha }=\frac{3}{\cos 45}=3\sqrt{2}$

d. Thiết diện qua trục là tam giác đặc biệt

- Tam giác vuông: 

$l=r\sqrt{2}=h\sqrt{2}$

- Tam giác đều: $l=2r$ hoặc $l=\frac{2h}{\sqrt{3}}$

VD. Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Tính độ dài đường sinh trong các trường hợp sau:

a. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông

b. Thiết diện qua trục là một tam giác đều

Lời giải:

a. Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên

$l=h\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

b. Do thiết diện qua trục là tam giác đều nên

$l=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$