100 công thức về tính diện tích hình nón (diện tích xung quanh, toàn phần, đáy) (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Công thức tính diện tích hình nón đầy đủ nhất ( diện tích xung quanh, toàn phần, đáy) 

1. Công thức tính diện tích đáy

- Đáy hình nón là hình tròn nên $S_d=\pi r^2$

VD1. Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 10 và chiều cao bằng 6. Tính diện tích đáy của hình nón đã cho.

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy là :

$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Suy ra diện tích đáy là: $S_d=\pi r^2=64\pi$

VD2. Cho tứ diện đều ABCD có thể tích $2\sqrt{6}{a}^3$. Tính diện tích đáy của hình nón ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} V_{ABCD}=\frac{B{C}^3.\sqrt{2}}{12} \\ =2\sqrt{6}{a}^3\Rightarrow BC=2\sqrt{3}a \end{gathered}$$

Suy ra :

$$\begin{gathered} S_d=S_{\Delta BCD}=\frac{{\left(2\sqrt{3}a\right)}^2.\sqrt{3}}{4} \\ =3\sqrt{3}{a}^2 \end{gathered}$$

2. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón.

Cho hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l.

VD1. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=9$; $AC=12$. Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

Lời giải:

Theo bài ta có: $h=AB=9$; $r=AC=12$

$$\begin{gathered} \Rightarrow l=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{9^2+{12}^2}=15 \end{gathered}$$

Vậy diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi rl=180\pi$

VD2. Cho hình nón có chu vi đáy bằng $20\pi$. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh hình nón.

Lời giải:

Chu vi đáy là :

$C=2\pi r=20\pi \Rightarrow r=10$

Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên $l=r\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Do đó $S_{xq}=\pi rl=100\sqrt{2}\pi$

3. Công thức tính diện tích toàn phần hình nón.

Cho hình nón có bán kính r, chiều cao h và đường sinh l

Diện tích toàn phần:

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+S_d \\ \Rightarrow S_{tp}=\pi rl+\pi r^2 \\ =\pi r\left(l+r\right) \end{gathered}$$

VD1. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $65\pi$ và độ dài đường sinh bằng 13. Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} S_{xq}=\pi .r.l=65\pi \\ \Rightarrow \pi .r.13=65\pi \iff r=5 \\ \Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(l+r\right) \\ =\pi \mathrm{.5.}\left(13+5\right)=90\pi \end{gathered}$$

VD2. Cho hình nón có góc ở đỉnh là ${120}^{\circ }$ và đường sinh dài 10. Tính diện tích toàn phần của hình nón đã cho

Lời giải:

Góc ở đỉnh là :

$\widehat{AOB}={120}^{\circ }\Rightarrow \widehat{IOB}={60}^{\circ }$

Ta có :

$r=IB=OB.\sin {60}^{\circ }=5\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(l+r\right) \\ =\pi .5\sqrt{3}.\left(10+5\sqrt{3}\right) \\ =\left(75+50\sqrt{3}\right)\pi \end{gathered}$$